今天的任务是比较一些表达电磁定律的方法，特别是比较几何代数，普通矢量和矢量分量。
我们本着对应原则的精神这样做：每当您学习一种新的形式主义时，都应检查它是否与您已经知道的一致。
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正如我们将在第5节中看到的那样，麦克斯韦的电磁场方程可以写成非常紧凑而优雅的形式：
其中J是时空的向量，代表电荷和电流，F是双向量，代表电磁场。仅仅为了看到这个结果，就值得学习几何代数（又称克利福德代数）形式主义。
应用对应原理来观察该方程如何重现其他形式可能更熟悉的结果也很有趣。因此，让我们退后一步，回顾一下Maxwell方程的prosaicnon-时空非几何版本。
我们首先用矢量场在三个维度上写麦克斯韦方程，即：
这些方程式具有几个深的对称性。通过进行一些表面上的更改，我们可以使某些对称性更加明显。为此，将在稍后说明。
这些方程对于三维旋转是不变的。它们显然是不变的，因为它们已经以矢量符号编写。我们尚未为三维空间指定基础，因此，如果爱丽丝使用相对于鲍勃的参考系旋转的参考系，则方程式3不仅对他们两个都有相同的含义，而且逐字查找。
相反，这些方程具有相对论的不变性，没有表现出来。 t坐标明确显示。如果Alice使用相对于Bob参考系移动的参考系，则他们将无法就t的值达成一致。为此，他们将无法就E字段和B字段的值达成共识。
当然，关于坐标的不一致和关于场的不一致最终会消除，因此Alice和Bobeventually同意方程式的预测将物理地发生。
因此方程式3代表了一个中等的复杂程度：相对于旋转而言表现出不变性，而对于助力而言则表现出非明显的不变性。
通过从等式2到等式3，我们在战略位置添加了c的因子。这有助于使方程式更加明显对称。特别：
在每个出现t的地方，我们都安排了ct出现的位置，而不是单独出现t。理由是与x，y和z具有相同的尺寸。换句话说，在时空中，x，y和z的伙伴不是ct，而是ct。
类似地，j的伙伴不是ρ，而是cρ。
最后但并非最不重要的一点，E的合适伴侣不是B而是cB。在B出现的每个地方，我们都安排了东西，因此出现了c B组合，而不是单独的B。这只是代数重排中的一种练习，不会改变方程式的含义。理由是c B具有与E相同的维度，以这种方式安排事物使等式更加明显地对称。 （高斯等人提出了将c B视为“磁场”的建议，但我们拒绝这样做，因为这将偏离术语的常规含义。）
如第6.2节所述，没有洛伦兹力定律，麦克斯韦方程不是很有用。
这些方程在任何单位制中都是正确的，包括SIamong。 （在某些单位制中，可能可以通过设置c = 1和/或设置4πє0 = 1来构造更一般但更紧凑的方程式。这些紧凑的公式与方程式3一致。它们是方程式3的推论…反之亦然，我们将在本文档中继续采用更一般的表述，虽然稍显优雅，但实用得多，而且，从较一般的形式转换为较不一般的形式要容易得多，反之亦然。等，请参阅参考文献1和参考文献2。）
在这样的组件中表达内容有时对于计算很方便，但它掩盖了旋转不变性。如果Alice使用相对于Bob旋转的参考系，则他们将无法就x i或E i的含义达成一致。当然，旋转不变性仍然存在；它只是变得毫无表现力。
如第8节所述，几何代数（也称为Clifford代数）具有许多优点。事实证明，我们可以用易于记忆的形式编写麦克斯韦方程组
它包含了不太复杂的版本方程式3的全部含义，我们将在稍后演示。
该表达式的优点是明显的Lorentzinvariant（包括增强和旋转）。将此与方程3对比，在方程3中洛伦兹不变性不明显。
总体而言，最好的方法是直接吸引方程式1解决实际问题。一些示例可以在第11节和参考文献3中找到。
但是，这不是本文档的主要目的。取而代之的是，我们想从等式1开始推导不太复杂的麦克斯韦方程（等式3），这可以看作是对应原理的检验或应用。
首先，我们需要建立三维电流j与相应的四矢量电流J之间的对应关系。
在这里我们选择了一个参考系，其中γ0，γ1，γ2和γ3是正交法向量。特别地，γ0是时基向量。我们看到ρ与时间方向上的电荷流动的连续性有关，就像普通的三维电流j代表在空间方向上的流动一样。有关流量的守恒和连续性的更多信息，请参见参考文献4。
我们还需要知道F与老式字段E和B之间的关系。在任何特定帧中，
Ekγkγ0-cB kγkγ1γ2γ3
其中，E k和B k是在我们选择的框架中测得的通常电场和磁场的分量。
这个方程式有一个有趣的结构。它告诉我们我们应该将电磁场视为双矢量。在任何特定的帧中，此双矢量F有两个贡献：一个贡献是在时间似的方向上一个边缘与E关联的双矢量，而另一个贡献是在空似方向上具有两个边的双矢量与c B关联。
我们正在大量使用CliffordAlgebra的中心特征，即乘向量的能力。这种乘法服从通常的结合律和分配律，但不是一般的可交换性。 1特别是因为我们的基本向量γµ是正交的，所以它们彼此反换向：
γμγν= −γνγμ对所有μ≠ν（9）
γ0γ0 = −1，γ1γ1 = +1，γ2γ2 = +1，γ3γ3 = +1（10）
现在我们要做的就是将方程式7插入方程式1并转动曲柄。
由于E具有三个分量E k且导数算子具有四个分量∇µ，因此涉及E的项将有12个。类似地，涉及B的项也将有12个。
让我们讨论一下这意味着什么。我们从以蓝色突出显示的九个术语开始。涉及cB的六个项是∇×c B的分量。类似地，涉及E的三个项是+∇0 E的分量，这与-（∂/c∂t）E相同。这些项每个都涉及一个类空间基础向量（γ1，γ2和γ3），因此我们要处理D = 3空间中的普通旧向量。公式1的RHS有一个与此匹配的向量，即D = 3电流密度。因此，蓝色项告诉我们∇×c B −（∂/c∂t）E =（1 /cє0）j，与等式3很好地吻合。
接下来，我们考虑用红色突出显示的九个术语。涉及E的六个项是∇×E的分量。类似地，涉及cB的三个项是−∇ 0 c B的分量，这与+（∂/c∂t）c B相同。这9个项都是具有沿时间方向（γ0）的投影。由于方程1的RHS没有任何三向量项，我们必须得出结论，这些红色项加起来为零，即∇×E +（∂/c∂t ）c B = 0，这也与公式3一致。
涉及E的三个黑色项与时态的J匹配，并告诉我们∇·E =（1 /є0）ρ。涉及cB的三个blackterm告诉我们∇·c B = 0。 3
让我说说这是如何计算的。遵循形式主义，这确实是相当机械的。在最后一行考虑术语+∇2 cB 3γ1。我们从具有两个因子的表达式∇F开始，因此所讨论的术语将具有两个因子∇2γ2和− cB3γ3γ1γ2γ3，它们共同构成−∇2γ2 cB3γ3γ1γ2γ3。来对γ向量进行置换以使其成为标准形式。将标量拉到最前面并使用等式9置换前两个向量以获得+∇2 cB3γ3γ2γ1γ2γ3。再次置换以得到−∇ 2 cB3γ3γ1γ2γ2γ3，使用等式10将其减少至−∇ 2 cB 3γ3γ1γ3.然后再进行一次置换再进行一次归约，就可以完成工作。
唯一需要做出决定的部分就是在我本可以写出-γ0γ1γ3的地方写γ0γ3γ1。它使标牌跌落成漂亮的图案，因此更容易看到与老式十字叉产品的对应关系。如果我们说规则使用{iγµ for µ = 0,1,2,3}来写所有伪矢量，则我们可以使这看起来更优雅，并且不那么随意，其中i是单位伪标量（方程式45）。
在完成计算之后，决定如何给术语加上颜色需要做出一些判断，但是并不需要太多，因为术语自然地将空间矢量和时间矢量分离为矢量和三矢量。
预览：我们的目标是证明电荷是守恒的，即∇·J = 0。我们不会承担保护责任；我们将证明方程1的麦克斯韦方程的结果已经保证了守恒。我们将通过考虑等式两边的差异来做到这一点。
背景：我们将需要一个数学引理，该引理说双向量的散度的散度始终为零。为了得出这个结论，考虑一个任意的双矢量W.我们暂时假设Wis是一个简单的叶片，即W = aγ5γ6。那么散度为
∇5γ5 aγ5γ6 +∇6γ6γ5γ6
在第二行中，我们使用了一般规则，即点积是完整几何积的低品位。在最后一行，我们暂时假定γ5和γ6是空的，但我们将看到此假设是不必要的。
∇（∇5 aγ6 −∇6 aγ5）⟩0
∇6γ6∇5 aγ6 −∇5γ5∇6 aγ5
在最后一行中，我们使用了梯度算子的各个组成部分相互交换的事实。
现在，我们提出一个假设，即我们的基础向量是时态的。您应该验证γ5和γ6是空的还是时空的都没有关系。提示：更全面的计算将使我们：
∇6∇5aγ5 2γ6 2 −∇5∇6 aγ5 2γ6 2
现在，我们提出W是刀片的假设。根据分配定律，如果对于任何等级= 2的叶片，∇·（W·W）为零，则对于任何此类叶片的总和，即对于任何双矢量，它都是零。我们概括地说：
就本节而言，我们只需要方程17b。那是麦克斯韦方程组的等级= 1。我们不需要假设单极子不存在，也不需要了解麦克斯韦方程的三向量部分。我们不需要方程式17d或方程式17c。
我们当然是在使用四维散度。零散度表示时空世界线的连续性。关于为什么这是在流量连续性方面表达保护思想的正确方法的解释，请参见参考文献4。
其中p是动量，q是电荷，v是3维常规速度。
与几乎任何涉及叉积的方程一样，可以通过使用GeometricAlgebra重写方程19来改进方程19：
其中τ是适当的时间，u = d x /dτ是4维适当的速度，4 p = m u是动量，m是不变质量。这里p和u是D = 1 + 3时空中的向量，这是等式19的相对论正确的推广。
与以前的方程式不同，方程式20包含点积。特别地，它涉及向量与双向量的点积。这样的东西不像两个向量之间的点积那么容易计算，但是就几何积而言，它们仍然相当容易计算。通常，点积是完整几何积的最低等级部分，如参考文献5所述。对于带有双向量的向量点，我们具有：
这意味着我们只是形成几何乘积并丢弃除等级= 1以外的所有内容。处理“矢量点双矢量”的另一种方法是：
这可以看作是一种将点运算符分布在楔形运算符上的“分布律”。等式22告诉我们，乘积A·（B∧C）是一个向量，位于B和C跨越的平面中。
要用几何（而不是代数）术语说同样的事情，您可以形象地看到具有bivector的向量的乘积如下：
抛弃垂直于双矢量平面的矢量分量。将投影保持在平面上。
结果（点积）将在平面内且垂直于投影。它的长度将是双矢量的大小乘以投影的大小。
在图1中显示了一个有效的洛伦兹定律示例，其中电磁场双矢量（F）在空间上是均匀的，仅在纸的平面上定向。图中所示的回旋加速器轨道对应于具有一定初始速度的正测试电荷的运动，除了指示的电磁场以外，没有任何力。
很容易理解这个结果。如果粒子沿红色矢量方向移动，它将在蓝色方向上受到力。如果粒子沿蓝色方向移动，它将受到与红色方向相反的力。
纸平面中的场双矢量导致在纸平面中的回旋加速器轨道。
如果字段F已经用现代术语表示为双矢量，则适用上述内容。现在，本着文件的精神，我们重新审视这种情况，以展示双矢量思想与老式思想（例如电场矢量和磁场伪矢量）之间的对应关系。
图1中所示的双矢量纯粹是空间的，因此它必须与磁场相对应，在我们的参考系中没有电场。磁场伪矢量垂直于纸张，直接指向纸张外。您可以使用右手力定律检查图1所示的回旋加速器轨道对于在这样的磁场中移动的正测试电荷是否正确。
检查一般情况很有趣，对于老式电场矢量和磁场伪矢量的已知项中的任何F，如方程式7或方程式8.由方程式20所建议，我们应将u的点积取为对应原理建议我们应该恢复力定律的老式3矢量版本，即等式19.要进行点积运算，我们可以转动曲柄...但实际上我们几乎不需要根本不做任何工作。 u·中的点积融合了完整几何积u F的子集，即纯矢量（grade = 1）项。请参阅参考文献6中的方程式18。我们可以避免做一些工作，因为u F与∇F具有相同的结构–它只是某些向量与F的几何乘积–因此我们可以重复使用方程式11，在任何地方都替换∇。然后我们丢弃所有的三向量项，剩下的就是点积。
在非相对论极限中，速度的时态分量等于1，加上可忽略的高阶项。因此，方程11中的蓝色项为动量变化的类空分量提供了通常的Lorentz方程：1 E + v×B.
涉及E的黑色术语给我们带来了额外的好处：它们告诉我们功率（即工作速率，即动能的时间导数），即v·E。
让我们考虑电磁场的范，即gorm（F）⟨F F〜⟩0。您可以轻松地验证一下：
这是一个标量，洛伦兹不变标量。它以多种方式有用，尤其是-є0（（cB）2-E 2）是电磁场的拉格朗日密度。
让我们继续寻找涉及F的与能量相关的表达式。第6.3节为我们提供了寻找的提示；拉格朗日密度不是“该”能量密度，而是至少具有能量密度的维数。
从老式的电磁学中我们知道，应该有一个像电场强度平方一样的能量密度。这告诉我们每单位体积的能量。用老式的术语来说，能量密度是½0（E 2 + c 2 B 2）。
还有一个坡印廷矢量，它告诉我们每单位时间每单位表面积的能量流动量。用老式的术语来说，它是cє0 E×cB.。
因此，在没有进一步动机的情况下，我们使用20/20后见之明断言Fγ0 F将是有趣的。遵循本文档的精神，让我们通过计算老式E和B字段的Fγ0 Fin条件来检查该断言，然后看看有什么用。我们用等式7代替F并转动曲柄：
（E kγkγ0-cB jγjγ1γ2γ3）γ0（E kγkγ0-cB jγjγ1γ2γ3）
-E kγkγ0γ0 cB jγjγ1γ2γ3− cB kγkγ1γ2γ3γ0 E jγjγ0
+ CB kγkγ1γ2γ3γ0 cB jγjγ1γ2γ3
+ E kγk cB jγjγ1γ2γ3− cB kγkγ1γ2γ3 E jγj
+ CB kγkγ1γ2γ3 cB jγjγ1γ2γ3γ0
+ E kγk cB jγjγ1γ2γ3− cB jγjγ1γ2γ3 E kγk
+ E k cB j（γkγj-γjγk）γ1γ2γ3
从第二行到第三行，我们使用了（γ0）2 = -1的事实。对于所有k∈{1,2,3}，我们还使用了γ0γk =-γ0γk的事实。另一方面，（γ1γ2γ3）γk ＝ +γk（γ1γ2γ3）。也就是说，当我们在（γ1γ2γ3）中的三个因子之间交换γk时，我们只选取两个因子-1，而不是三个，因为对于其中一个因子，该因子的下标将与下标k匹配，而γk显然与自己通勤。
在下一步中，我们使用了（γ1γ2γ3）2 = -1的事实。我们还更改了一些虚拟索引。
T（γ0）的空间部分是老式的三维Poynting向量（除了c的缺失因子），而时间部分则表示相应的能量密度。
尽管该T（γ0）向量具有四个分量，但它并不是行为良好的Lorentz协方差四个向量。实际上它只是4×4对象的一个列，即应力能张量T.用E和B表示T（γ0）（如方程式26的第二行）仅在特定帧中有意义定义了E和B。另外，如果要在给定帧中将T（γ0）连接到Poynting向量，则γ0不能只是任何基础向量，而必须是4-
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