杀死尖顶狂热的概率
我是一个巨大的粉丝杀死尖顶，我想分享一个小概率伎俩，我了解到，通过计算“贪婪”的几率来帮助我改善我的游戏。此技巧也可能在卡或概率基于卡或概率中受益，但是本帖子的示例将具体杀死尖顶。
我有一个甲板，其中包含N个可取的卡片。如果我从那个甲板上绘制H卡，我绘制的机会是什么（完全/至少/最多）的米望？
这种问题通常在纸牌游戏中出现，包括复杂的游戏（如杀死尖顶）或更简单的（如扑克）。以下是一些具体示例，涉及杀戮尖端的具体示例：
“下一页转我画5张牌。如果在甲板上留下7张牌，其中4张牌，其中4张是罢工的，那么我绘制了至少3次罢工的可能性是什么。
“一个霓虹灯奖金让我失去了7 Max HP，从3个随机稀有卡中选择。现在我只对17个可能的罕见卡中的6个感兴趣，所以我至少有1个中的那6岁时是什么机会？“
关于杀死尖顶的好事是它是一个基于转向的单人游戏，所以（与扑克不同）你可以在决定轮到你的时候，没有人急于赶快快点。这意味着我可以安全地盯着这些概率计算来增加我的获胜可能性。
在这篇文章中，我将首先向上述概率问题提供解决方案（既是数学公式和代码），然后解释为什么公式工作。
在提出解决方案到上述问题之前，我首先要使用更精确的设置表示法来重新抑制问题，以避免模糊性：
将U定义为甲板中的所有卡的通用集，然后定义那些卡的两个（潜在重叠）的子集：
最后，我们将使用∩表示设置的交叉点，我们将使用它来定义四个非重叠（即差别）集：
¬B│乙┌─────────┼─────────┐¬A│¬A∩¬B│¬A∩乙│────┼────── ────────────────────────────────────
如果设置A和B的大小是固定的，则它们重叠的概率是什么（即设置A≠B）具有给定的大小？
问题并不具体到卡。它将适用于任意集
问题不具体到绘制卡或可取的卡。它适用于任何两个卡片
问题是关于A和B对称的。如果我们换交一张卡的两个子集的大小，我们希望得到相同的答案
使用| S |表示集合和使用的大小（即基数）！要表示因子，那么通过给定尺寸重叠的两个固定大小亚组的概率是：
| A |！ ×|¬a|！ ×| B |！ ×|¬b|！p =───────────────────────────────── ──────────────── ×| a∩¬b|！ ×|¬a∩b |！ ×|¬a∩¬b|！ ×|你|！
通过这种解决方案，我们可以通过重命名变量来解决我们的原始问题：
我有一个甲板包含| b |理想的卡片| U |总卡。如果我绘制| A |来自那个甲板的卡，我绘制的机会是什么（完全/至少/最多）| A∩b |可取的卡？
我们已经拥有了我们绘制的案例的解决方案A∩B |可取的卡片。从中，我们可以最多或至少计算绘图的解决方案a∩b |可取的卡片。
如果您仍然不遵循，我将上述解决方案转换为哈斯克尔代码。
......只有四个自由度，因为以下四个不相交的大小的大小：
| a | = | a∩b | + | a∩¬b||¬a| = |¬a∩b | + |¬a∩¬b|| B | = | a∩b | + |¬a∩b ||¬b| = | a∩¬b| + |¬a∩¬b|| U | = | a∩b | + | a∩¬b| + |¬a∩b | + |¬a∩¬b|
...因此，我们API中的每个函数都只需要四个函数参数，对应于那些四个不相交集的大小。还有其他方式可以定义使用不同四个自由度的API，但我发现这个接口是最简单且最对称的。
模块概率导入数字.Natural（自然） - 使用默认情况下使用精确的Rational算法而不是浮点算术默认（自然，理性） - 强制性：http：//www.willamette.edu/~fruehr/haskell/evolution。 HTML？因子::（枚举n，num n）=＆gt; n - ＆gt; n因子n =产品[1 ..n] { - |两组尺寸@ | a | @和@ | b | @ hignap by一组完全尺寸@ | @ prop＆gt;恰好1 0 A === 1％（A + 1）PROP＆GT;恰好A B 0 0 === 1 PROP＆GT;恰好A 0 B 0 === 1 PROP＆GT;完全是一个b c d ===完全是c b d - }完全::（enum n，fractional n）=＆gt;自然 - ^ @ | a∩b | @ - ＆gt;自然 - ^ @ | a∩¬b| @ - ＆gt;自然 - ^ @ |¬a∩b| @ - ＆gt;自然 - ^ @ |¬a¬b| @ - ＆gt; n恰好_ab _anotb _bnota notab =从integralutor / ulfinteglal致偏执符，其中_a = _ab + _anotb _b = _ab + nota nota = _bnotb + notab = _bnota + notab _u = _bnota + notab _u = _bn + _anotb + _bnota + notab numerator = product（map argetorial [_a ，nota，_b，notb]）分母=产品（地图阶段[_ab，_anotb，_bnota，notab，notab，_u]）{ - |两组大小@ | a | a | @和@ | b | @ oype of tase @ | @ prop＆gt;至少0 a b c === 1 prop＆gt;至少a b c d ===最多的a c b d-}至少::（enum n，fractional n）=＆gt;自然 - ^ @ | a∩b | @ - ＆gt;自然 - ^ @ | a∩¬b| @ - ＆gt;自然 - ^最大尺寸@ |¬a∩b| @ - ＆gt;自然 - ^ @ |@∩¬b| @ - ＆gt; n至少_ab _anotb _bnota notab = sum（map superhootby [0 ..（min _anotb _bnota）），其中超管x =完全（_ab + x）（_bnotb-x）（_bnota-x）（notab + x）{ - |两组尺寸@ | a | @和@ | b | @ oderap of moly size @ | @ prop＆gt;最多0 A B C ===完全是0 a b c prop＆gt;最多一个0 b c === 1 prop＆gt;最多A B 0 C === 1 Prop＆gt;最多A B C D ===最多的C B D Prop＆Gt;最多一个b c d +至少a b c d === 1 +完全a b c d-}最高:( enum n，fractional n）=＆gt;自然 - ^ @ | a∩b | @ - ＆gt;自然 - ^ @ | a∩¬b| @ - ＆gt;自然 - ^ @ | @∩b | @ - ＆gt;自然 - ^最大尺寸@ |¬a∩¬b| @ - ＆gt; n最多_ab _anotb _bnota notab = sum（映射下划线[0 ..（min _ab notab）]其中下鼻x =完全（_ab-x）（_anotb + x）（_bnota + x）（notab-x）
练习：如果您不使用Haskell，请尝试将上面的功能移植到您喜欢的编程语言中。
让我们在Slay The Spire中测试在示例场景上驱动上述实用程序。
“下一页转我画5张牌。如果在甲板上留下7张牌，其中4张牌，其中4张是罢工的，那么我绘制了至少3次罢工的可能性是什么。
在这里，我们将使用eAtleast函数具有以下每个不相交集合的以下输入大小： | a∩b | = 3 - 我们希望绘制至少3张罢工卡 | a∩¬b| = 2 - 我们希望绘制最多2张非罢工卡 |¬a∩b| = 1 - 我们希望在甲板上最多留出1张罢工卡 |¬a∩¬b| = 1 - 我们希望在甲板中留下至少1个非触发卡 锻炼：使用最高功能来计算最多2次罢工的缩短机会。 “一个霓虹灯奖金让我失去了7 Max HP，从3个随机稀有卡中选择。 现在我只对17个可能的罕见卡中的6个感兴趣，所以我至少有1个中的那6岁时是什么机会？“
这也将使用与每个不相交集合的以下输入大小的eAtleast函数： | a∩b | = 1 - 我们希望绘制至少1个所需的稀有卡 | a∩¬b| = 2 - 我们希望绘制最多2个不合需要的珍稀卡片 |¬a∩b| = 5 - 我们希望在游泳池中最多留下5个可取的卡片 |¬a∩¬b| = 9 - 我们希望在游泳池中留下至少9个不受欢迎的卡片 本节提供了一个半严格的解释，为什么公式工作，虽然可能不足以被称为证明。 {正确的双手的数量} p =──────────────────────────可能的手数}
可能的手数是我们可以画出尺寸的方式的数量A | （无需替换）来自|池| U |卡片（我们的甲板）：
绘制的方式的数量| a∩b |来自池的理想卡| B |可取的卡片和
绘制的方法的数量| a∩¬b|来自池的不良卡|¬B|不受欢迎的卡片
{正确的双手的数量} =（| b |选择| a∩b |）×（|¬b|选择| a∩¬b|）
（| B |选择| A∩B|）×（|¬B| ────────────────────选择| A |
然后，我们可以使用“n选择k”公式来计算从K卡池中选择N卡的方法数而无需更换，这使我们提供：
| B |！ |¬b|！ ────────────────────×──────────────────────|一个∩C |！ ×|¬a∩b |！ | A∩¬B|！ ×|¬A∩¬B|！P =─────────────────────────────────────── ───────你|！ ───────────── ×|¬a|
| A |！ ×|¬a|！ ×| B |！ ×|¬b|！p =───────────────────────────────── ──────────────── ×| a∩¬b|！ ×|¬a∩b |！ ×|¬a∩¬b|！ ×|你|！ 不幸的是，这个配方在一个人的头上很难做到，所以我经常将这些实用程序函数加载到Haskell Rept中，以便在棘手的转弯上进行数学。 我尚未对这种概率计算获得快速和近似答案的容易启发式。 但是，如果您愿意花时间计算这种计算的可能性，可以快速增加，从而提高赢得尖顶运行的速度。 我经常使用这个技巧来计算贪婪戏剧的期望值，这可以在运行过程中拯救相当多的健康或药水。
