与四元数的旋转

四元数是4维复杂的数字，它有四个组件，其中三个是＆＃34;想象中的＆＃34; 部分。 $$ q = a + b \ textrm {i} + c \ textrm {j} + d \ textrm {k} $$ $$ q =（b，c，d，a）$$ $$ $$ \ textrm {i} ^ {2} = \ textrm {j} ^ {2} = \ textrm {k} ^ {2} = \ textrm {i} \ textrm {} \ textrm {j} \ textrm {k} = - 1 $$ typedef联合{float q [4]; struct {float x; 浮子y; 浮子Z; 浮动w; };}四元数; 四个组件通常是有序的\（w，x，y，z \），但我喜欢在最后放置\（w \）。 四元数基本上是4维向量，因此它具有幅度（或规范或长度）： $$ || q || = \ Sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} + w ^ {2} + w ^ {2}} $$$$$$$$$$$一种单位四分之一（凌乱的四元数）（1 \） ）表示在3D空间中的旋转。 几何上，我们还可以考虑\（（0，0，0，-1）\），因为它对应于没有旋转。 缩放四元数正在将每个组件乘以实数（标量）：

四元数乘法ISN＆＃39; t换向（\（q_ {1} .q_ {2} \ ne q_ {2} .q_ {1} \））。如果我们想应用旋转\（q_ {1} \）那么旋转\（q_ {2} \），所得到的旋转\（q_ {3}）是：

$$ Q_ {3} = q_ {2} .q_ {1} $$ $$ q_ {1} = a + b \ textrm {i} + c \ textrm {j} + d \ textrm {k} $$$ $ q_ {2} = e + f \ textrm {i} + g \ textrm {j} + h \ textrm {k} $$$$$ \ begin {sealth *} q_ {1} .q_ {2} =（ae -bf-cg-dh）+（af + be + ch-dg）\ textrm {i} + \\（ag-bh + ce + df）\ textrm {j} +（ah + bg-cf + de）\ textrm {k} \ neg {align *} $$四半管quat_mul（四元数a，四元数b）{return（四元数）{aw * bx + ax * bw + ay * bz - az * by，aw * by - ax * bz + ay * bw + az * bx，aw * bz + ax * by - ay * bx + az * bw，aw * bw - ax * bx - ay * by - az * bz};}

我们使用四元数而不是欧拉角度表示旋转几个原因：

我们仅使用四元数表示对象的方向，然后我们将其乘以另一个四元数来旋转它。

然而，直接以四元轴形式写入旋转.T真的直观，我们所做的是将欧拉角转换为四元数，然后使用它来旋转。

如果我们在Zyx（偏航 - ＆gt; roll; roll; roll，我们可以选择任何顺序，但必须保持一致），我们可以将它转换为如下四元数：

$$ q = \ begin {bmatrix} \ sin（x / 2）\ cos（y / 2）\ cos（z / 2） - \ cos（x / 2）\ sin（y / 2）\ sin（z / 2）\\\ cos（x / 2）\ sin（y / 2）\ cos（z / 2）+ \ sin（x / 2）\ cos（y / 2）\ sin（z / 2）\\\ cos（x / 2）\ cos（y / 2）\ sin（z / 2） - \ sin（x / 2）\ sin（y / 2）\ cos（z / 2）\\ cos（x / 2 ）\ cos（y / 2）\ cos（z / 2）+ \ sin（x / 2）\ sin（y / 2）\ sin（z / 2）\ end {bmatrix} $$ typedef联盟{float v [ 3]; struct {float x;浮子y;浮子Z; Vector3;四元数euler_to_quat（Vector3 E）{float cx = cos（e.x / 2）; float sx = sin（e.x / 2）; Float Cy = COS（例如/ 2）;浮子sy = sin（例如/ 2）; Float CZ = COS（E.Z / 2）; float sz = sin（e.z / 2）;返回（季芯）{SX * CY * CZ - CX * SY * SZ，CX * SZ，CX * CY * SZ - SX * SY * CZ，CX * CY * CZ + SX * SY * sz};}

转换obj; obj.position =（vector3）{0，0，0}; obj.scale =（丝锥）{1,1,1,1}; obj.rotation = quat_id（）; //最初是我们的对象ISN＆＃39; t旋转//通过y anderobj.rotation = quat_mul（euler_to_quat（euler_to_quat（euler_to_quat（（vector3）{0，pi / 4,0}），obj.rootation）旋转对象。 //通过PI / 4再次旋转，使其围绕Yobj.rotation = Quat_mul（euler_to_quat（euler_to_quat（（vector3）{0，pi / 4,0}），obj.rotation）;

在进行3D渲染时，我们通常将MVP（模型视图投影）矩阵传递给着色器，以便在场景中查看我们的对象：

$$ \ textit {mvp} = m _ {\ textit {projection}}。m _ {\ textit {view}}。m _ {\ textit {model}} $$ $$ m _ {\ textit {model}} = m _ {\ Textit {scale}}。m _ {\ textit {rotate}}。m _ {\ textit {translate}} $$ $$ q =（x，y，z，w）$$$$ m_ {\ textit {rotate}} = \ begin {bmatrix} 1-2yy-2zz＆amp;＆amp; 2xy-2zw＆amp;＆amp; 2xz + 2yw＆amp;＆amp; 0 \\ 2xy + 2zw＆amp;＆amp; 1-2xx-2zz＆amp;＆amp; 2YZ-2XW＆amp;＆amp; 0 \\ 2xz-2yw＆amp;＆amp; 2YZ + 2XW＆amp;＆amp; 1-2xx-2yy＆amp;＆amp; 0 \\ 0＆amp;＆amp; 0＆amp;＆amp; 0＆amp;＆amp; 1 \ END {BMATRIX} $$图形API（如OPENGL）通常表示列在列 - 主要表示法中的内存中的矩阵，因此我们必须在代码中转换矩阵：

typedef联合{float m [16]; struct {float m00;浮子M10;浮动M20;浮子M30; float m01;浮子M11; float m21; float m31;浮动M02;浮动m12; float m22;浮动M32;浮动M03;浮子M13;浮子M23;浮子M33; mat4; mat4 rotate_3d_matrix（四元管q）{float xx = q.x * q.x; float yy = q.y * q.y; float zz = q.z * q.z;返回（MAT4）{1-2 * YY-2 * ZZ，2 * QX * Q.Y + 2 * QZ * QW，2 * QX * QZ-2 * QY * QW，0,2 * QX * QY-2 * qz * qw，1-2 * xx-2 * zz，2 * qy * q.z + 2 * qx * qw，0,2 * qx * q.z + 2 * qy * qw，2 * qy * qz -2 * qx * qw，1-2 * xx-2 * yy，0,0,0,0,1};}

$$ Q ^ {*} = ab \ textrm {i} -c \ textrm {j} -d \ textrm {k} $$$ =（q \）的倒数，表示\（q ^ { - 1} \），缀合物除以幅度平方：

$$ Q ^ { - 1} = \ frac {q ^ {*}} {|| q || ^ {2}} $$四半管quat_inverse（quaternion q）{float m = quat_magnitude（q）;如果（m == 0）返回（四元管）{0,0,0,0}; //避免分割0 m * = m;返回（四元数）{ - q.x / m，-q.y / m，-q.z / m，q.w / m};}

对于单位四元数，缀合物等于逆。通过其逆率在身份十二段中将四元度乘以：

$$ QQ ^ { - 1} =（0,0,0,1）$$$$ \（q_ {1} \）和\（q_ {2} \）的差异是另一个四元数\（q_ {3 } \）从\（q_ {1} \）旋转到\（q_ {2} \）：

$$ Q_ {3} = q_ {1} ^ { - 1} .q_ {2} $$ exthernention and quaternion won＆＃39; t非常有用，但我们将使用它们来计算其他稍后函数。

给定四元管\（q =（x，y，z，w）\）及其矢量部分\（v =（x，y，z）\），那个四元数的指数也是四元数，它＆＃39 ;由这个公式给出：

$$ \ exp（q）= \ exp（w）\ begin {pmatrix} \ frac {v_ {x}} {|| v ||} \ sin（|| v ||）\\\ frac {v_ {y }} {|| v ||} \ sin（|| v ||）\\\ frac {v_ {z}} {|| v ||} \ sin（|| v ||）\\\ cos（| | v ||）\ end {pmatrix} $$四半管quat_exp（四元数q）{vector3 v =（vector3）{qx，qy，qz}; float v_m = vector3_magnitude（v）; Vector3 v_n = Vector3_normalize（v）; float sin_v = sin（v_m）; float exp_w = exp（q.w）;返回（四元数）{v_n.x * sin_v * exp_w，v_n.y * sin_v * exp_w，v_n.z * sin_v * exp_w，cos（v_m）* exp_w};}

四元数的对数也是四元数，由此公式给出：

$$$ \ log（q）= \ begin {pmatrix} \ frac {v_ {x}} {|| v ||} \ arccos（\ frac {w} {|| q ||}）\\\ frac {v_ {y}} {|| v ||} \ arccos（\ frac {w} {|| q ||}）\\\ frac {v_ {z}} {|| v ||} \ arccos（\ frac { w}} {|| q ||}）\\\ log（|| Vector3 v_n = Vector3_normalize（v）; float m = quat_magnitude（q）; float a = acos（q.w / m）;返回（四元数）{v_n.x * a，v_n.y * a，v_n.z * a，log（m）};}

向权力提高四元素导致该四季度的分数或倍数。 \（Q ^ {2} \）表示\（q \）的旋转的两倍，\（q ^ {\ frac {1} {2}}表示旋转的一半。

$$ q ^ {n} = \ exp（n \ log（q））$$可以说是四元数最重要的优势之一，＆＃34; slerp＆＃34;代表球形线性插值。它＆＃39; sa函数，即占用三个参数：四元数\（q_ {1} \），四元数\（q_ {2} \）和从\（0 \）的插值参数\（t \） \（1 \）。它根据\（t \）的值给出了中间旋转。

$$ \ textrm {slerp}（q_ {1}，q_ {2}，t）= q_ {1}（q_ {1} ^ { - 1} q_ {2}）^ {t} $$四半管quat_slerp（四元数Q1，四元数Q2，浮点T）{T = T＆lt; 0？ 0：T; t = t＆gt; 1？ 1：T;返回quat_mul（q1，quat_pow（quat_mul（quat_inverse（q1），q2），t））;}

这是一个动画，显示从欧拉角度划分的立方体（（0，\ frac {5 \ pi} {4}，\ frac {\ pi} {4}）到\（（0,0,0）\ ）：

转换obj; quaternion start_rotation = euler_to_quat（（Vector3）{0,5 * pi / 4，pi / 4}）; quaternion target_rotation = euler_to_quat（（Vector3）{0，0，0}）obj.rotation = start_rotation; float t = 0; //主循环时（1）{... obj.rotation = quat_slerp（start_rotation，target_rootation，t）; t + = delta_time; ...}