在虚拟现实中打印

欢迎人们，我希望你保持安全和良好。我将在一系列文章和一些工具上花费时间，以帮助Tiltbrush软件的刷子和技术艺术品。

本文旨在成为一系列中的第一个。请注意，本文中的Python代码以及关联的工具集中的易窃，以便冗长和表达。我已经采取了这种方法，因为它可以易于访问和容易地理解。这不是最佳的python，也不是好的风格。你被警告了！

Tiltbrush草图的最基本方面称为控制点。本质基本上是在三维空间中的曲线上的单个顶点，其中几个属性，例如压力和时间戳。渲染刷子冲程时使用这些属性组合。对于这个项目，我们将首先建立一个线原语，我们稍后将用来构建其他羊膜混合。

（如果您想了解有关Tiltbrush文件格式的更多信息，请在此之前写在此处）。

在Tiltbrush Shixt素描中的中风是一系列有序的控制点。我们可以将此笔划表示为我们代码中的3维线。我们会确保线上的顶点是等距离，而不是间隔开，并以正确的顺序没有重复的顺序。

这很容易通过递归函数来实现，该递归函数在线段发现线段长度足够短，然后通过递归熄灭。作为进修，中点和段长度式2D和3D是。

$$ d = \ sqrt {（x2 -x1）^ 2 +（y2 - y1）^ 2} $$ $$ d = \ sqrt {（x2-x1）^ 2 +（y2 - y1）^ 2 +（z2 - z1）^ 2} $$ $$（x，y）= \左（\ dfrac {x1 + x2} 2，\ dfrac {y1 + y2} 2 \右）$$（x，y，z） = \左（\ dfrac {x1 + x2} 2，\ dfrac {y1 + y2} 2，\ dfrac {z1 + z2} 2 \右）$$大多数代码来解决这是平凡的，但我确实喜欢恢复细分线条段的呼应。当我完成这个实验性项目并系列博客文章时，我将分享所有代码和工具。

def __subdivide（自我，段）：seg_len = self。 __Length（段）如果seg_len＆lt;自己 。 max_seg_size：self。 ctrl_pts。附录（段）返回段= self。 __Split_segment（段）在部分中的s：self。 __subdivide（s）

一旦这些操作完成，我们有一个很好的细分线段，可以用于渲染Tiltbrush内部的笔触。

虽然没有必要，但我认为基于Polyhedra的质心或中心质量具有多面体形式是非常方便的。这使得基于世界坐标的皮带形状更容易。

这需要一段时间才能找到源头的良好解决方案。 iFound两个推荐的解决方案，两者都适用于非自相互联系的闭合3D多面体，但获得两种不同的性能。我要站在巨人的群体，并将这些解决方案转换为代码。

第一方法使用网格中的顶点向量的平均值来获得顶点的茚，第二种方法使用发散定理以获得多孔的达格兰（和面积）。两个属性对于不同类型的网格（例如，3D线VS 3D网格）非常有用）

为了帮助计算上面，我为3个维度创建了一个向量类，并为其计算了一些实用程序方法，用于计算点，交叉产品 - 作为腹部幅度和方向。我还添加了一些功能以促进载体算法。此类可以在本文的参考部分中找到。

顶点的质心是从多面体中所有顶点的算术导出的点。这是2,3和确实n维的情况。

要获取顶点列表的质心，首先组织顶点尖角图图，如下所示：

$$ p = \ begin {bmatrix} x_1＆amp; X_2＆amp; X_3＆amp; \ dots＆amp; x_n \\ y_1＆amp; Y_2＆amp; Y_3＆amp; \ dots＆amp; y_n \\ z_1＆amp; Z_2＆amp; Z_3＆amp; \ dots＆amp; z_n \\\结束{bmatrix} $$在我们的代码中，这是一个非常简单的操作，但它在下一步中使Thecentroid计算更容易。

Rows = 3＃x，y，z cols = len（pts）＃n p = zeros_matrix（行，cols）＃填充I的矩阵（行）：对于j在范围（cols）中：p [i] [i] [ j] = pt [j] [i]

现在要计算质心C，我们只是迭代矩阵P Andobtain的算术平均值。

$$ c = \ begin {bmatrix} x \\ y \\ z \ neg {bmatrix} = \ frac 1 n \ biggl（\ begin {bmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \ neg {bmatrix} + \ begin { bmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \ neg {bmatrix} + \ begin {bmatrix} x_3 \\ y_3 \\ z_3 \ neg {bmatrix} + \ dots + \ begin {bmatrix} x_n \\ y_n \\ z_n \ neg { Bmatrix} \ biggl）$$ LST = []对于I范围（COL）：_M = Zeros_matrix（1,3）_M [0] [0] [0] [0] = p [0] [i] _m [0] [1] = p [1] [i] _m [0] [2] = p [2] [i] lst。 Append（_M）_MSUM = add_matrices（lst）sc = 1 / cols centroid_matrix = multiply_matrix_by_scalar（_msum，sc）

使用Polyhedra的三角形（面部）计算质心更涉及。令人惊讶地涉及。它需要一些复杂的（对我）的腺体溶液进行微积分。

随着我的微积分生锈，我花了很长时间才能理解这种方法。坦率仍然没有坚定的直觉。我会尝试在未来的articleas中重新审视这对我来说非常有趣。我从应用程序角度来看，我会促进前进。刚刚安慰，如果你发现这个数学很难过来，你并不孤单。

此处描述了该过程，我将在这里将其转换为Python代码。

在该方法中，ai（i = 0 - ＆gt; n-1）是多面体p.so ai上的三角形面的计数是三角形。对于这些三角形中的每一个，我假设TheTheNgle Ai，Bi，Ci的顶点顺时针逆时针排序。我们可以为每个P的每个三角形计算外部单元正常n为。

$$ n_i = \ hat {n_i} / | \ hat {n_i} |，\ enspace where \ enspace \ hat {n_i} =（b_i-a_i）⊗（c_i-a_i）$$，小^符号意味着单位矢量， ⊗是产品尺寸。由此，我们使用分歧的概念判断P的V卷V是因为x·nᵢ是每个三角形的常数，每个三角形的区域是：

定理具有以下形式，Sigma是一种像循环一样的样式。 Long S类型yembol是一个明确的积分，可以被认为是一种总和函数 - 这些这些功能在微积分中使用了很多，以导出区域 - 特别是曲线的区域。这里有一个很好的内部积分微积分

$$ v = \ int_ {p} \ enspace 1 = \ cfrac {1} {3} \ int _ {\ partial p} \ enspace x \ cdot n = \ cfrac {1} {3} \ sum_ {i = 0} ^ {n-1} \ int_ {a_i} \ enspace a_i \ cdot n_i = \ cfrac {1} {6} \ sum_ {i = 0} ^ {n-1} ^ {n-1} ^ {n-1} a_i \ cdot \ hat {n_i} $$ P的质心将在3个维度R3中置于实数。其中C是质心，V是卷：

$$ c = cfrac {1} {v} {v} \ enspace \ int_ {p} x $$再次应用分歧定理，其中标准基础表示为E1，E2，E3，允许我们获得三个坐标质心：

$$ c \ cdot e_d = \ frac {1} {v} \ enspace \ int _ {\ partial p} \ frac {1} {2}（x \ cdot e_d）^ 2（x \ cdot e_d）= \ frac { 1} {2v} \ sum_ {i = 0} ^ {n-1} \ in {a_i}（x \ cdot e_d）^ 2（n_i \ cdot e_d）\ enspace d = 1,2,3 $$ \ int_ {a_i}（x \ cdot e_d）^ 2（n_i \ cdot e_d）\\\\ = \ FRAC {1} {6} \ hat {n_i} \ cdot e_d（[\ frac {1} {2} （a_i + b_i）\ cdot e_d] ^ 2 + [\ frac {1} {2}（b_i + c_i）\ cdot e_d] ^ 2 + [\ frac {1} {2}（c_i + a_i）\ cdot e_d ] ^ 2）\\\\ = \ frac {1} {24} \ hat {n_i} \ cdot e_d（[（a_i + b_i）\ cdot e_d] ^ 2 + [（b_i + c_i）\ cdot e_d] ^ 2 + [（c_i + a_i）\ cdot e_d] ^ 2）$$我不完全了解上述如何与三角形的标准中点采样Quadreformulululululululululate有关。

这是转换为代码，三角形是我创建的自定义类，以表示atriangle - 属性a，b和c是vector3对象 - 记住参考部分中的矢量图3类）。三角形是从倒换网格获得的三角形对象的有序列表。

total_volume = 0.0 centroid_integral = vec3。 ZERO（）＃对于每个三角形的三角形，在三角形的三角形中构成网格中的三角形：B_A =三角形。 B - 三角形。一个c_a =三角形。 c - 三角形。 A＃计算此三角形的区域级正常，并将其添加到此Polyhedra N = B_A的＃总卷。 Cross（C_A）Total_volume + =三角形。一个 。点（n）/ 6.0＃Compute，然后将当前三角形贡献添加到每个维度的整体＃质心积分。 ＃x x_contribution = n。 x *数学。 POW（（三角形。一个。x +三角形。b。x），2）+数学。战俘（（三角形。x +三角形。c。x），2）+数学。 POW（（三角形。C. x +三角形。一个。x），2）Centroid_Integral。 x = centroid_Integral。 x + x_contribution＃y y_contribution = n。 Y *数学。战俘（（三角形。一个。y +三角形。b。y），2）+数学。战俘（（三角形。y +三角形。c。y），2）+数学。战俘（（三角形。C. y +三角形。a。y），2）centroid_Integral。 y = centroid_Integral。 y + y_contribution＃z z_contribution = n。 z *数学。 POW（（三角形。一个。z +三角形。b。z），2）+数学。战俘（（三角形。Z +三角形。C. Z），2）+数学。 POW（（三角形。C. Z +三角形。一个。z），2）Centroid_Integral。 z = centroid_Integral。 z + z_contribution＃最终通过逆卷x_scaled = centroid_Integral缩放每个质心尺寸。 x *（1.0 /（24.0 * 2.0 * total_volume））Y_SCALED = CEMETRAID_INTEGLAL。 Y *（1.0 /（24.0 * 2.0 * total_volume））z_scaled = centroid_Integral。 Z *（1.0 /（24.0 * 2.0 * total_volume））＃并返回质心！返回vec3（x_scaled，y_scaled，z_scaled）

我们现在可以应用上述理论和代码来派生网格的质心。我在线找到了Amesh南瓜，这是一个非常好的测试。它是低聚的，它有一个不寻常的形式。它也是一个不相交的封闭的多面体。这里是结果，红点是质心。

那很有趣！我没有预料到这种复杂性，所以它变成了一个真正整洁的Littleadventure。现在让我们前进！让我们打印这张照片！

要使用上述工作生成艺术，我们需要创建一些形状的原语。我们这样做，我们还需要知道如何旋转，并将这些原始的原因均匀地将它是一个非常乏味的图片，它是一个非常乏味的图片，其由一个单独的单位上重叠的所有像素组成

在未来，我们将讨论和添加功能以扩展，也是歪斜基元！

翻译操作应在给定方向上通过Afix距离将几何对象中的所有点移位。翻译公式是：

$$ p＆＃39; =对象上所有点P的P + D $$。这将（🥁）转换为以下Python Code.we使用我们之前讨论的Vertice质心解决方案。

def translate_cy_celltroi​​d3d（Centroid，Delta，顶点）：#wortringroid ortrated_cleadroid = translate_vertice3d（centroid，delta）dv =（translated_centroid [0] - centroid [0]，transtrated_centroid [1] - centroid [1]，translated_centroid [2] - firedroid [2]）翻译_vertices = []对于V顶点，x = v [0] y = v [1] z = v = v [2] tx = x + dv [0] ty = y + dv [1] tz = z + dv [2]翻译_vertices。附加（（tx，ty，tz））返回（翻译_cayroid，translated_vertices）def translate_vertice3d（tastice，delta）：x = waltice [0] y = wastice [1] z = wastice [2] tx = x + delta [0] ty = y + delta [1] tz = z + delta [2] return（tx，ty，tz）

旋转操作有点涉及，我们希望旋转其质心旋转3D。此操作的转换矩阵是：

$$ rx = rx（\ theta）= \ begin {bmatrix} 1＆amp; 0＆amp; 0 \\ 0＆amp; \ cos \ theta＆amp; - \ sin \ theta \\ 0＆amp; \ sin \ theta＆amp; \ cos \ theta \ neg {bmatrix} \\\\\ enspace \\\\ ry = ry（\ theta）= \ begin {bmatrix} \ cos \ theta＆amp; 0＆amp; \ sin \ theta \\ 0＆amp; 1＆amp; 0 \\ - \ sin \ theta＆amp; 0＆amp; \ cos \ theta \ neg {bmatrix} \\\\\ enspace \\\\ rz = rz（\ theta）= \ begin {bmatrix} \ cos \ theta＆amp; - \ sin \ theta＆amp; 0 \\\ sin \ theta＆amp; \ cos \ theta＆amp; 0 \\ 0＆amp; 0＆amp; 1 \结束{bmatrix} $$我们可以创建以下代码，主要仿真上述转换。但我们将在另一个帖子中接近比例和偏差。现在，这是我的天空化：

def rotate3d（角度，顶点）：rftclecles = rotate_x（角度[0]，顶点）rftctions = rotate_y（角度[1]，revcticrics）rftctions = rotate_z（角度[2]，revcticrics）返回refrices def rotate_x（θ，顶点） ：sin_theta =数学。 SIN（THETA）COS_THETA =数学。 COS（θ）rotated_vertices = []用于顶点的v：打印（＆＃34;：＆＃34; v）x = v [0] y = v [1] z = v [2] rx = x ry = y * cos_theta - z * sin_theta rz = z * cos_theta + y * sin_theta rotated_vertices。附加（（rx，ry，rz））返回rotated_vertices def rotate_y（θ，顶点）：sin_theta = math。 SIN（THETA）COS_THETA =数学。 COS（θ）rotated_vertices = []对于顶点的v：x = v [0] y = v [1] z = v [2] rx = x * cos_theta + z * sin_theta ry = y rz = z * cos_theta - x * sin_theta rotated_vertices。附加（（rx，ry，rz））返回rotated_vertices def rotate_z（theta，顶点）：sin_theta = math。 SIN（THETA）COS_THETA =数学。 cos（theta）rotated_vertices = []对于顶点的v：x = v [0] y = v [1] z = v = v [2] rx = x * cos_theta - y * sin_theta ry = y * cos_theta + x * sin_theta rz = z rotated_vertices。附加（（rx，ry，rz））返回rotated_vertices

为了使这篇文章是合理的大小，我们将专注于两个简单的PrimitivesFirst，然后在未来的文章中我们将获得更先进的文章。现在我们将制作Pixelsand Voxels！我认为我们都知道像素是什么，但体素是长方体，它是三维的紫杉醇。

我创建了像素的像素，该方形由Tiltbrush中的四行组成，然后将X形成为X作为像素的填充。我已经包含以下代码：

Warning: Can only detect less than 5000 characters