完美的神秘数学
蒙娜丽莎的笑容。玛丽娄雷顿的奥林匹克金库。玛丽亚凯莉的音乐沥青。一切都被认为是完美的。第6和28号是如此。
与艺术性和运动能力的壮举，完美在于旁观者的眼睛。但对于数字，在数学上定义完美。 “完美的数字”等于其“适当”的分割之和（正整数均匀地除以均匀，不计算自己）。例如，6 = 3 + 2 + 1，28 = 14 + 7 + 4 + 2 + 1.虽然这些数学的好奇事很可能是宽容卢浮宫的墙壁，因为它们是执行扭曲的布局背部，他们确实提供了不可抗拒的东西：一个完美的谜团。
欧几里德在2000年前奠定了完美数字的基础知识，他知道前四个完美的数字是6,28,496和8,128。从那时起，已经发现了许多更完美的数字。但是，好奇地，他们都是偶数。没有人能够找到一个奇怪的完美数字，并且在数千年的不成功搜索之后，这可能很诱人得出结论，奇怪的完美数字不存在。但数学家也无法证明这一点。我们如何能够了解甚至完美的数字，而不是能够回答一个关于奇怪的问题？现代数学家如何解决这个古老的问题？
我们对数学完美的探索从除数开始。我们知道6是从$乳胶\ frac {12} {6} $ = 2以来的第12个的除数，我们知道25是自$乳胶\ FRAC {100} {25} $ = 4.如我们说，当它等于其适当的除数的总和时，我们知道一个数字是完美的 - 那些低于数字本身的除数。我们还可以将一个数字定义为完美，当所有除数，适当和不正确的总和是数字的两倍。这效果是因为数字的唯一不正当的除法是数字本身。我们看到28仍然是完美的这个定义：其适当的除数是1,2,4,7和14，其除法表不当为28，以及所有除数的总和，1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 ，是56个，这是2×28.包括总和的不当的除法方面是一些与完美数字的几个代数的方便，因为我们很快就会看到。
当使用完美的数字时，我们最终会说“数字的除数的总和”很多，所以数学家通过将其转化为一个函数来更容易。我们将定义σ（n），或“n的σ”，是n的除数之和。我们已经知道σ（28）= 56.一些其他示例：σ（1）= 1，σ（6）= 1 + 2 + 3 + 6 = 12，σ（10）= 1 + 2 + 5 + 10 = 18.请注意，6是完美的数字，因为Σ（6）= 2×6，但是1和10不是。正如我们所看到的，此功能Σ具有一些特殊的属性，非常适合学习完美的数字。
所以我们已经获得了完美数字的基本定义和新的数学工具，以帮助我们找到它们。我们应该在哪里开始看？我们将开始在学习数字及其模式时始终开始数学家和他们的模式：PRIMES。
根据定义，素数仅由自己分开。这使得计算Σ对于素数相当容易：σ（2）= 1 + 2 = 3，σ（3）= 1 + 3 = 4，σ（ 5）= 1 + 5 = 6，σ（7）= 1 + 7 = 8.对于任何素数p，σ（p）= 1 + p。
素数可以完美吗？只有σ（p）= 1 + p = 2 p。一点点代数告诉我们，只要p = 1，但由于素数量大于1的定义，因此没有素质可能是完美的。所以我们知道素数不能完美。我们在哪里看下一个？
Primes的力量 - 2 4,5 3或113 6的数字 - 是一个很好的下一步，因为它们的除数很容易组织。考虑16，或2 4的主要功率。2 4的唯一除数是2达2 4：2 0 = 1,2 1 = 2,2 2 = 4,2 3 = 8,2 4 =的功率16.所以Σ（2 4）可以像这样计算：
σ（2 4）= 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31。
如果我们使用来自代数类的公式，这变得更轻松。请注意，在Σ（p n）中加入的每个术语是p次p次。这使得这是一个所谓的几何系列，并且有一个很好的公式，用于几何系列的总和：
（有关此惊人的公式，请参阅列结束时的练习。）
由于几何系列公式，我们不必列出P n的所有除数来计算σ（p n）。我们可以使用以下公式：
σ（p n）= 1 + p + p 2 + p 3 + ... + p n = $ latex \ frac {p ^ {n + 1} -1} {p-1} $。
Σ（2 4）= 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 4 = $乳胶\ FRAC {2 ^ {5} -1} {2-1} $ = $乳胶\ frac {32-1} {1 $ = 31。 我们可以通过将其插入公式来计算其他主要权力的除数之和： 请注意，这些主要功率都不满足完美的条件：σ（2 4）≠2×2 4，σ（3）≠2×3 3，σ（11 2）≠2×11 2.实际上 ，没有主要功率可以是完美的。 为了获得完美的数字，我们需要σ（p n）= 2 p n，这意味着： 1 + P + P 2 + P 3 + ... + P n -1 + P n = 2 p n。 现在我们将在此等式的左侧使用几何系列公式：以来 我们需要这对P n保持完美。 但请注意，P n - 1小于p n，并通过p-1划分p n - 1将使它变小，因此 所以没有完美的素数，没有完美的主要力量。 什么是完美的？ 嗯，我们知道28是完美的，这是两个不同的主要功率的产物：28 = 2 2×7。
任何不是素数或主要功率的数字都可以写作像这样的不同素数的产品。和这些要素与功能σ的特殊属性一起，可以帮助我们确定一个数字是否完美。
我们已经知道σ（28）= 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28，但让我们仔细看看那个总和。请注意，最后三个数字中的每一个都是7的倍数：我们可以考虑7个以揭示一些隐藏结构：
σ（28）=（1 + 2 + 4）+ 7×（1 + 2 + 4）。
这并没有告诉我们任何我们尚未知道的任何东西：Σ（28）=（1 + 2 + 4）（1 + 7）= 7×8 = 56，这证实了28是完美的。但是有些东西隐藏在该乘法中：
$ LaTex \ Begin {对齐}Σ（28）＆amp; =（1 + 2 + 4）（1 + 7）\\＆amp; =（1 + 2 ^ 1 + 2 ^ 2）（1 + 7 ^ 1）。 \结束{对齐} $
括号中的那些表达式看起来熟悉：1 + 2 1 + 2 2 =σ（2 2）和1 + 7 1 =σ（7）。这意味着我们实际上可以写作
计算Σ（28）=σ（2 2×7）我们实际上可以计算σ（2 2）和σ（7）并将它们乘以。这是一个令人惊讶的是，这一般是真的：你可以在这样的时间里考虑一个数字，你可以使用这个快捷方式来计算σ。例如，由于100 = 2 2×5 2，我们可以计算如下所示的σ（100）：
σ（100）=σ（2）σ（5 2）=（1 + 2 + 4）（1 + 5 + 25）= 7×31 = 217， 这比列出100的全部九个除限并将它们添加到更容易。 为什么这项工作？ 嗯，一个数字的除法者来自其主要因素。 再次考虑28，这是2 2和7的乘积，并考虑下面的乘法表： 沿着顶部是2的力量，即均匀分裂28，侧面是7的力量，均匀分裂28.请注意我们填写此乘法表时会发生什么。 我们获得了28的所有除数。这是因为28的每一个除数是2 2和7的除数的组合，所以在分解28中出现的主要权力。 当我们使用分配属性乘以这一点时，这也会产生28的所有除数，然后添加它们： （1 + 2 + 4）（1 + 7）= 1×1 + 2×1 + 4×1 + 7×1 + 7×2 + 7×4。
换句话说，（1 + 2 + 4）（1 + 7）正好σ（28）。但（1 + 2 + 4）（1 + 7）也是σ（2 2）σ（7）。所以Σ（2）σ（7）=σ（28）。此示例演示了关于σ的非常有用的事实：以数字理论的语言，此功能是“乘法”。这意味着σ（ab）=σ（a）σ（b）只要数字a和b是“相对素数”，意味着它们没有共同的因素。
这是Σ的特色，这对于帮助我们学习完美的数字是完美的。 Euclid使用了这一事实，2000年前创建了一个用于查找完美数字的公式，从特殊类型的素数和关于产品和除数的聪明语的帮助。在这样做时，他迈出了迈向决定每个甚至完美的数字都有什么样的。让我们看看他是如何做到的。
这是我们之前讨论的几何系列公式的结果。现在考虑以下思想实验：如果是2 k + 1 - 1是素质的？
嗯，由于σ（p）= 1 + p的任何素数，我们知道σ（2k + 1-1）= 1 + 2k + 1 - 1 = 2k + 1。并注意到2 k + 1恰好是2 k，因为表明2×2 k = 2 k + 1的指数。因此，我们在数字2 k和2 k + 1 - 1之间有以下两个有趣的关系：
Euclid注意到一种聪明的方式来利用这些关系：他将两个数字放在一起，使数字m = 2 k×（2k + 1 - 1），只要（2 k + 1 - 1）是素质，这数字是完美的！要看到这一点，我们将计算σ（m）并显示它等于2米。
首先，请注意，2 k + 1 - 1的数字小于偶数，因此它必须是奇数。这意味着2k + 1-1不可分割地。但是2 k仅被2.如此k和2k + 1 - 1所以不可分割的。因此，相对素质。这允许我们使用Σ的乘法属性：
我们已经知道σ（2 k）= 2 k + 1 - 1和σ（2k + 1 - 1）= 2k + 1 = 2×2 k，因此我们可以找到σ（m）：
请记住，这依赖于假设2 k + 1 - 1是素数。这些数字被称为Mersenne Primes，并且由于巨大的互联网Mersenne Prime搜索（GIMPS），您可能已经听说过它们，这是一个协作的在线计算努力，找到巨大的Mersenne素数。随时您听到关于发现新的最大素数的发现，这可能是GIMPS的结果。由于欧几里德的证据，任何时候发现了新的Mersenne Prime，也会发现一个新的完美数字。
例如，2 5-1 = 31是Mersenne素，因此2 4（2 5-1）= 16×31 = 496是完美的数字。此外，2 2 - 1 = 3是Mersenne素，所以2 1（2 2 - 1）= 2×3 = 6是完美的。和2 3 - 1 = 7是Mersenne Prime，所以2 2（2 3 - 1）= 4×7 = 28是完美的。
你可能已经注意到所有这些完美的数字都是偶数。这是有道理的，因为只要k＆gt; 0，2 k×（2k + 1 - 1）将是偶数。 （如果k = 0那么2 k + 1 - 1是1，这不是素数。）
您也可能注意到我们到目前为止讨论过的所有完美数字似乎都涉及Mersenne素质。这并不巧合：欧几里德有2000年才显示出这个公式产生完美的数字，Leonhard欧拉证明这是获得完美数字的唯一方法。但是奇怪完美数字可能就像（如果它们存在）的问题仍然是开放的。
它今天仍然开放。虽然他们找不到一个，但数学家有很多关于假设奇怪完美数字可能看起来的信息。它不能被105分开。它必须至少有九个不同的主要因素，其中第二大的是必须大于10,000。当除了36时，当除以36时，它必须在12或剩余时间分开时具有剩余的1。
证明可能甚至不存在的数字似乎很奇怪。但是每个新规则都会缩小一些搜索。如果他们很幸运，数学家可能只证明奇怪的完美数字必须满足两个不兼容的标准，这将证明一次，并且对于任何奇怪的完美数字都存在。
在寻找不兼容的标准上，数学家甚至开始看不太完美的数字。如果您假装其中一个非素数是素质，那么“欺骗完美的数字”是一个非常完美的数字。例如，60，3,4和5的产品可以被认为是“欺骗完美”：如果您假装4在其分解中的4个是素数，那么我们为Σ开发的快捷方式给我们
如果σ（60）等于120，则60将是完美的。当然，Σ（60）实际上并没有等于120，但如果我们假装4是素数，它看起来像它。这就是让它恶搞的原因。
这些欺骗就像完美数字的概括，所以关于欺骗的任何真实都必须对一个完美的数字保持真实。了解奇怪的欺骗是特别有用的，因为可以将任何针对奇怪欺骗的规则添加到现有规则中，以增加奇数完美数字，增加找到矛盾标准并收紧整体搜索空间的机会。
RenéDescartes，另一个着名的数学家被吸引到完美数字的神秘之地，发现了第一个奇怪的欺骗了完美的数字，他挑战了数学家找到别人。在接受挑战时，数学家已经扩大了欺骗的概念，并发现了一个新的学习数量。在大多数情况下，对这些欺骗完美数字的调查只是为了实现数学勘探的快乐。但也许我们了解欺骗的东西将有助于我们证明，实际的奇怪完美数字不能存在，或者也许它将导致我们成为一个。
花费数千年的狩猎与奇怪的财产来说，似乎很奇怪，证明了可能甚至不存在的物体的定理，并发明了新的甚至陌生人世界来探索。但对于一个数学家来说，它是完美的感觉。
如果少于其适当除数的总和，则一个数字被称为“丰富”。例如，36是丰富的，因为1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 9 + 12 + 18 = 55，其大于36.最小的数量是多少？
如果它大于其适当除数的总和，则数字是“缺陷”。例如，35是缺陷的，因为1 + 5 + 7 = 13，其小于35.是缺乏或丰富的主要功率？
3.使用分配性乘以（P-1）（1 + P + P 2 + P 3 + ... + P n）并简化。
4.假设n是一个奇数，假设m = 2 n并且是完美的。表明n必须等于3。
最小的数量是12.最小的奇数数量要大得多，更大！您可以证明，通过证明丰富的数量丰富，您可以提供多种丰富的数字。
以上，我们证明了1 + p + p 2 + p 3 + ... + p n-1 = $ latex \ frac {p ^ {n} -1} {p-1} $＆lt; P n，使PRIME权力缺乏。当然，由于素数的适当除数总和总是1.注意，这证明了这些数字无数的数量。
请注意，由于（P-1）（1 + P + P 2 + P 3 + ... + P n）= P n + 1 - 1，我们可以通过p-1划分方程的两侧来获得
由于m = 2 n并且是完美的，我们有σ（m）=σ（2 n）= 4 n.但是由于n是奇数，n和2是相对素质的，因此σ（2 n）=σ（2）σ （n）=3σ（n）。所以4 n =3σ（n）。
由于这种等式的两侧是整数，并且3不划分4,3必须划分n。所以我们可以写
自$ LaTex \ FRAC {N} {3} $必须是整数，它也是N的除数。N也是n的除法，所以我们知道n的除数总和至少是总和这两个。那是，
但我们已经知道Σ（n）= $乳胶\ frac {4} {3} $ n。如果n有更多的除数，σ（n）将大于$乳胶\ frac {4} {3} $ n 此外，3必须是其唯一的除法。 因此，n = 3如声明。 这是Euler证据的具体应用，即每一个完美的数字都是M = 2 k×（2k + 1-1）的形式，其中2k + 1 - 1是Mersenne素。 这篇文章已被修改为反映16×31 = 496，而不是486.谢谢我们的鹰眼读者，以捕获这种印刷错误，这也是提醒学生总是仔细检查你的工作！
