Peter Scholze的数学形式化挑战

2020-12-06 21:16:24

这是Peter Scholze撰写的客座帖子,解释了液体实向量空间数学形式化挑战。有关挑战的pdf版本,请参见此处。有关形式化的注释,请参见第6节。现在转到Peter。

定理1.1(Clausen-S。)让我们成为实数,让它成为一个有限集,并让它成为-Banach空间。设为的度量空间。然后

(这是在www.math.uni-bonn.de/people/scholze/Analytic.pdf中定理9.1的特例,并且是定理6.5证明的本质。)

下面,我将解释定理中的所有术语是什么,以及我为什么在乎。我先向您道歉,说背景故事要长一些,但我认为这是一个有趣的故事,因此我尝试尽可能简短。

首先要说明的是压缩阿贝尔群的类别,在该类别中进行此计算。这是拓扑阿贝尔群的一种变体,但具有更好的性能。这是Dustin Clausen和我两年前开始发展的“浓缩数学”的一部分。我在波恩为此开设了两门课程:www.math.uni-bonn.de/people/scholze/Condensed.pdf和www.math.uni-bonn.de/people/scholze/Analytic.pdf,最近我们做了一个关于此的哥本哈根大师班,https://www.math.ku.dk/english/calendar/events/condensed-mathematics/。

压缩数学声称拓扑空间是错误的定义,应该用略有不同的压缩集概念来代替它们。在给出它们的定义之前,让我先声明一些属性:

—实际上,大多数感兴趣的拓扑空间是“紧凑生成的弱Hausdorff”。实际上,这是代数拓扑中通常使用的拓扑空间。同样,所有常用的拓扑向量空间(例如,所有可度量的向量空间,或仅第一个可数的向量空间)都具有此属性。现在,紧凑生成的弱Hausdorff空间也完全忠实地嵌入到压缩集合中,因此在此类大量示例中,转换是完全无关紧要的。

—压缩集合具有非常好的分类属性,尤其是所有限制和共限制(例如拓扑空间)。但是它们还具有内部映射对象:如果是压缩集合,则存在一个压缩集合,以便对于任何其他压缩集合,可以使用map在功能上标识map。实际上,对于某些基本压缩集合上的映射,这同样是相对的。用类别来讲,“压缩集合是局部笛卡尔封闭的”。

—甚至更好,直到温和的集合论问题,压缩集合都形成了主题。 (更确切地说,除了存在一组发电机之外,它们满足Giraud的公理。人们可以构建一个压缩集类别的变体,称为巴威克–海因的缩密集的类别,这是一个主题,基本上是通过限制到由一组发电机生成的子类别中。)

现在让我解释什么是精简集。我和克劳森(Clausen)是从不同的轨迹来的(巴里克(Barwick)和海恩(Haine)却来自不同的轨迹;文献中有一些先驱,特别是Spanier的拟拓扑空间(在代数拓扑中)和Waelbroeck的压缩空间(在功能分析中)。对我来说,它开始于我的Perfectoid几何设计(毫不奇怪...),但是请随时跳过此段。 perfectoid几何的起点是通过提取的所有幂根来研究诸如-adic环之类的思想,从而得到无穷大的覆盖塔,然后传递到极限对象,这是一个Perfectoid空间。人们之所以想这样做,是因为令人惊讶的是,在某些方面,完美的空间要比通常的环形空间更好。特别是,存在倾斜程序将它们与特性相关联(再次,令人惊讶的是,特性在某种程度上比特性容易)。从技术上讲,一个人定义了环空(或任何刚性解析变体)的pro-étale站点,并表明在pro-étale站点中局部存在完美的空间。但是,让我们忘掉关于完美几何的所有知识,让我们简单地看一下这个故事的相似点是什么:在一个点上的光纤中,例如,在每个有限阶段中,它被有限多个点覆盖,在通过有限集(即有限集)的极限来限制。 (根据定义,有限集是Pro-(有限集)类别的对象。它们的类别等同于完全不连通的紧Hausdorff空间的类别,我经常会默认两个概念。)

这促使Bhatt和我本人介绍了一个点的亲情站点(或总体方案)。这是有限集的类别,其中的覆盖范围是联合射影地图的有限集合。

这听起来像是压缩集合是一个主题,但是上面我提到了集合理论问题。确实,有限集的类别并不小,因此必须以某种方式解决这一问题。让我在这里掩饰这一点;对于以下任何讨论,它都不是必需的。

这个定义(没有名称)已经在我2013年与Bhatt的论文中。但是我从来没有试图彻底理解这个概念。我知道从拓扑空间到压缩集(直至集合理论问题)都有一个函子:给定一个拓扑空间,一个人可以将任意定值集从传送到连续图。我不了解的是,该仿函数完全忠实于非常大的一类拓扑空间,而精简集合实际上是对拓扑空间的一种改进。这就是Clausen在2018年以PostDoc身份到达波恩时迅速说服我的。

在继续之前,让我描述一个压缩集“是”:对于每个有限集,它给出一个集,应将其视为“从到的映射”,因此它正在测量有限集如何映射到。捆公理保证了这些值之间的某种连贯性。明确地说,有一个“基础”。但是请注意,存在带有一点的压缩集合,但对于general来说,则有较大的集合。我们将在下面看到一个示例。重要的是要允许有这样的例子,以便有一个很好的一般理论。实际上,它们也不会产生太多麻烦。这是一个自由的世界。

示例2.2让它成为紧凑的Hausdorff空间。然后,一个经典的但有点怪异的事实是,从一个有限的集合中接受了一个排斥。一种构造是的Stone-Čech压实,其中被视为离散集。这使一个以等价关系作为商恢复。因此,紧凑的Hausdorff空间可以通过有限的等价关系视为有限集的商。当然,这似乎是查看紧凑的Hausdorff空间的一种可怕方法,但这是在压缩透视图中发生的事情,该透视图中仅记录了有限集的地图。挑战的部分原因是问题:这可能是一个很好的观点吗?

例子2.3。设间隔。在高中时,我们学会了用十进制扩展数来思考实数。我声称这会从一个有限的集合中产生一个排斥!为什么?的任何一点都可以用系数来表示,但是需要进行一些标识,例如。现在,十进制展开本身就自然形成一个有限集,即。只有在进行这些额外的识别时,才能产生连续性!因此,秘密地,在高中时,我们学会了将时间间隔视为有限集的商。

就像拓扑阿贝尔群一样,人们可以考虑凝聚阿贝尔群,即凝聚集合类别中的阿贝尔群对象。等效地,这些是点之前的传说中站点上的阿贝尔群。实际上,简明形式主义的一个不错的功能是,对于任何数学对象的概念,人们都可以考虑其简明版本:简明的群,简明的环,简明的类别,……,只需在赞成故事的站点上谈论这种形式即可。一点,就可以毫无问题地“将拓扑放在某物之上”。 (这是“在拓扑内部进行工作”的咒语……)但是,与拓扑阿贝尔群不同,凝聚阿贝尔群具有出色的形式特性:

命题3.1。压缩阿贝尔群的类别是具有所有限制和共限制的阿贝尔类别,并且是一类紧凑的射影生成器。特别是,它满足了Grothendieck的公理(AB3–6)和(AB * 3–4)(即,与阿贝尔群的类别相同),特别是过滤后的极限和无限乘积是精确的。

与通常的主题上的阿贝尔滑轮相比,这使它们的行为特别出色,甚至行为更加出色:通常,无限乘积是不精确的。

示例3.2在拓扑阿贝尔群中,一个标准问题是可以拥有拓扑阿贝尔群的连续图,这些拓扑阿贝尔是基础阿贝尔群的同构,但该图不是同胚。例如,设实数和具有离散拓扑的实数。那么,的内核和内核是微不足道的,而并非同构。在浓缩的阿贝尔群中,此问题的纠正方法如下:有一个确切的序列

其中是具有基础阿贝尔群的浓缩阿贝尔群,但对于一般的有限集,一个具有,通常不为零。

浓缩世界的另一个不错的功能是它是一个自由的世界。即,对于任何压缩集合,都有一个自由的压缩阿贝尔群(通过将presheaf取为给出)。如果是紧凑的Hausdorff空间,则可以明确地描述:它是紧凑的Hausdorff空间的联合,具有底层集合。实际上,这也定义了一个(紧密生成的弱Hausdorff)拓扑阿贝尔群;在这种情况下,这种构造可以追溯到马尔可夫的旧作品。

什么是紧凑型射影发生器?可以采用某些特殊的有限集,即所谓的“极度断开”的有限集。这包括离散集的Stone-Čech压实,而所有其他示例都是缩进。实际上,根据格里森的一个古老的定理,极端断开的有限集恰好是紧Hausdorff空间类别中的射影对象。极端断开的有限集很少见:最小的无限集具有基数。极端断开集合中的所有收敛序列最终都是恒定的。因此,您最喜欢的有限集的所有示例(康托集等)都不会极端断开。实际上,极端分离的存在与选择公理紧密相关(以非原理性超滤器的存在形式):基本示例是离散集的Stone-Čech压缩,这些离散集与些鬼的尘埃:您将永远无法命名边界中的任何点!

该命题确保了可以进行中的同构代数,但这意味着对于计算,必须由极不相关集上的自由凝聚阿贝尔群进行解析。这些是一些“尘云”,其投影分辨率相当于通过“尘云”解决漂亮的物体。基本上不可能完全明确地执行此操作,但是有时可以合理地明确地执行此操作。克劳森开发了一些技术来进行非平凡的计算。尤其是:

定理3.3。设为局部紧凑的阿贝尔群,视为中的对象。然后,对,并同意Yoneda-Ext在局部紧凑的阿贝尔群中的类别,而通常的连续地图是。

因此,从局部紧凑的阿贝尔群开始,就没有扩展(或“较高”扩展)出现的“奇怪的”浓缩阿贝尔群:即使将事物切成尘埃云,将尘埃聚在一起的唯一方法是您可能会想到的方式。该定理的证明是不平凡的。它利用了Belen-Deligne的阿贝尔族解析。但是,如果使用正确的方法,则证明是非常整洁的。

这些结果表明,该方法的运行情况非常好,如果以合理的示例开头,则它们和-group通常保持行为良好。但是,这对于张量积不是正确的。即,如果有人说和的张量积,则有人得到一个凝聚的阿贝尔群,其下阿贝尔群是和的通常代数张量积,这是一个混乱的地方,因为实际和adic拓扑是不兼容的。人们希望有一个“完整的”稠密阿贝尔群的概念,以及由此产生的完整张量积的概念,从而使完整的张量积消失。类似地,与本身的完整张量积应为。

玩弄了几周之后,我们发现了一个完整的概念,它与实数完全不同。

定义4.1。如果对于任何有限集,任何映射都唯一地扩展到map,则当a被写为有限集的极限时,一个压缩的阿贝尔群是实心的。

人们也可以将其视为,即。从这个意义上讲,这表示任何地图都提供了一个唯一的地图,将的度量发送到。注意,有一张由“狄拉克测度”给出的地图。

定理4.2。坚实的阿贝尔群的类别在所有限制,共极限和扩展下都是稳定的,并且是一个浓缩的阿贝尔群的子类别。包含在压缩的阿贝尔群中,则允许左伴生的“凝固”,这是的唯一保留colimit的扩展。在坚实的阿贝尔群上有一个唯一的张量积,使对称单项式(即与张量积兼容)。坚实的阿贝尔群的类别具有紧凑的射影生成器,由的副本的无穷乘积给出。

示例4.3离散组是实体,然后通过限制和共限(以及内部Hom)构建的所有对象仍然是实体。这包括等,实际上是普通代数中出现的所有内容。离开类别的唯一方法是获取张量乘积。这些必须重新巩固。但是,等等。实际上,考虑到固体向量空间,人们可以获得一个进行adic功能分析的理想框架。固体张量积可恢复Banach空间甚至Fréchet空间的通常完整张量积。

让我们回顾一下我们的立场。简洁的形式主义主要由-adic几何中的问题所激发,基于有限集,并且可以很好地处理-adic功能分析。所有这些都是非存档的。另一方面,我们想声称缩合集比拓扑空间更好,甚至超过。那么实数呢?

坏消息是,实际数字绝对不是可靠的。它们的固化等于。问题在于,上的值度量空间没有任何阿基米德边界。

进行研究,从而导致考虑有限集(带符号的Radon)的空间;作为一个浓缩的阿贝尔族,

这是紧凑的Hausdorff空间的组合(配有弱拓扑)。可以写出,哪里是有限集上的自由向量空间,并且最多引用-norm的一部分。最初,我们希望以下定义是合理的。

定义5.1。如果对于任何有限集,任何映射都唯一地扩展到map,那么压缩向量空间是完全的。

任何完整的局部凸向量空间都会产生一个-complete。相反,-完备性的条件与局部凸度密切相关。可以将许多功能分析转换为此设置。特别是(在要求准分离性的前提下),可以在这种情况下定义一个完整的张量积,从某种意义上说,它可以恢复Banach空间的内射和射影张量积。不幸的是,事实证明这一类别不是阿贝尔的,在扩展等情况下也不是稳定的。问题是存在Ribe扩展,即Banach空间的扩展,它本身并不是局部凸的。它来自熵函数。这迫使我们在形式主义中包括非局部凸空间。传统上,这导致了-Banach空间的概念,其中包括-spaces:-Banach空间是拓扑向量空间,对于-norm而言是完整的。唯一更改的公理是缩放公理:for,。特别地,仍然满足通常的三角不等式。 [在这之间总是总是有一个素数代表我,而这是表示-norms的标准字母之间存在一些不幸的符号冲突。用撇号根本没有多大帮助!]

Kalton有一个定理,-Banach空间的任何扩展都是-Banach。这导致以下定义。

定义5.2。 F或一个有限集,令-的空间为,其中

定义5.3。如果对于任何有限集和任何映射,任何映射都唯一地扩展到映射,则凝聚向量空间为-液态。

经过大量的努力,我们相信我们能够证明我们的关于阿贝尔群的定理的类似推论。

定理5.4。 -液体-向量空间的类别在所有极限,共极限和扩展(甚至在凝聚的阿贝尔群中)下都是稳定的,并形成凝聚的阿贝尔群的阿贝尔子类别。所有缩合的阿贝尔群中都包含一个左伴随的“-液化”,这是的唯一保留colimit的扩展。 -液体-向量空间具有唯一的张量积,从而使-液体化对称单项式。 -液体-矢量空间的类别具有紧凑的射影生成器,由给出,用于极端断开。

在核空间上,对于-的任何选择,-液体张量积都与通常完成的张量积一致。 (可以说,这是人们可以期望的最好的结果,就巴纳赫空间而言,格洛腾迪克定义的张量积没有一个,而是几种自然的选择。-液态的仍然是不同的,通常不产生巴纳赫空间,但在核情况下这些细微之处就消失了。)

这是我想形式化的定理。如开头所述,归结为定理1.1(并不完全明显,但非常安全),定理1.1和-Banach空间之间的-group消失了。

备注5.5。液体向量空间的类别取决于的选择;因为,条件最强(最接近局部凸度),并且随着接近而变弱。对于应用程序,通常任何选择都是可以的。令人惊讶的是,现在不仅有一种理论,而且还有整个理论家族!实际上,事实证明,也有类似的理论。在那种情况下,它们对所有人都存在,并且在某种意义上说,其极限理论是固体向量空间的理论。因此,人们可以认为,对于增加,对象变得越来越“粘稠”,直到它们变得牢固为止。 (另一方面,在某种意义上,的极限是所有压缩向量空间的类,人们可以称其为“气态”。)超过,则需要考虑,否则极限中的跃迁图就不好-defined,因为它们可以增加-norm。

—我要强力主张,在数学基础上,应该用压缩集合代替拓扑空间(除非它们原本是拓扑)—拓扑是拓扑空间的一种单独变体,它是有用的,在某种程度上与压缩空间无可比拟。集)。如果压缩集合也可以在实际功能分析中达到其目的,则此主张才成立。

-通过该定理,希望可以将简明形式主义有效地应用于实际的功能分析框架

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