推文中椭圆曲线的历史

2020-09-06 13:45:43

开普勒:所以,你看,行星的轨道是椭圆形的。为了找出地球的位置,我们需要一种计算椭圆弧长的方法。

牛顿:这是一个流畅的数学问题,像往常一样,可以用无穷级数展开来解决。

莱布尼茨:拿着我的啤酒,什么叫流利?椭圆的弧长是一个积分问题。对于某个常数$k$,您要计算$\int f(X)dx$,其中$f(X)=\sqrt{\frac{1-k^2x^2}{1-x^2}}$。为此,您必须找到一个封闭形式函数,使$F';(X)=f(X)$。

100年过去了。寻找Leibniz关于椭圆积分的闭式解,即$f(X)=\int_(c}^{x}R\Left(t,\sqrt{P(T)}\right)dt$,其中$R$是有理函数,$P$是3次或4次多项式,一直没有结果。

到了17世纪末,伯努利(伯努利留下来做练习)推测这项任务是不可能完成的。最后,刘维尔在19世纪证实了这一点,他证明了椭圆积分和许多其他积分一样,都是非初等的。

同时,费格纳发现了一个二重定律,后来欧拉又发现了椭圆积分的一般加法定律。椭圆形,双倍,加法!你可以看到历史正走向何方;-)。

勒让德系统地将椭圆积分减少到只有三种,以及它们的各种加法和变换规律。可怜的勒让德,接下来发生的事情使他一生中的大部分作品一出版就过时了。

ABEL:$\int\frac{1}{\sqrt(1-t^4)}dt$看起来与$\arcsin(X)=\int\frac{1}{\sqrt(1-t^2)}dt$相似。但是$sin$比$arcsin$有趣得多,不是吗?那么,为什么我们不把椭圆积分倒过来呢?

Eisenstein:所有特殊形式的椭圆函数都必须满足$y^2=p(X)$,其中p是没有重根的三次多项式。

魏尔斯特拉斯:你们所有的椭圆函数都属于我的,我的满足$y^2=4*x^3−a*x^2−b$。

弗雷:如果$a,b,c$是$x^n+y^n=z^n$的解,那么$y^2=x(x-a^n)(x-b^n)$看起来很奇怪。

Serr-Ribet:奇怪与否,我们还不知道,但它不会是模块化的。

怀尔斯-泰勒:这真是太奇怪了,它根本不存在!费马最后定理QED。

蒙哥马利:伦斯特拉先生,我能要回我的梯子吗?今天下午需要考虑一些大数字。

德菲奥-饶-普鲁特:……直到你带着肖尔在同源火山周围随意漫步。