四元数：催生现代代数的奇数

想象一下，把时钟的时针从3点钟拨回到中午。数学家们很早就知道如何用简单的乘法来描述这种旋转：一个代表时针在平面上的初始位置的数字乘以另一个常量。但是，有没有可能用类似的技巧来描述空间中的旋转呢？常识是肯定的，但19世纪最多产的数学家之一威廉·汉密尔顿(William Hamilton)花了十多年的时间才找到描述三维旋转的数学方法。这个不太可能的解决方案将他带到了仅有的四个数字系统中的第三个，这些数字系统遵循标准算术的紧密模拟，并帮助刺激了现代代数的崛起。

实数形成了第一个这样的数字系统。一个可以从最小到最大排序的数字序列，实数包括我们在学校学到的所有熟悉的字符，如-3.7、$LaTeX\sqrt{5}$和42。文艺复兴时期的代数学家们偶然发现了第二种可以加、减、乘、除的数字系统，因为他们意识到求解某些方程需要一个新的数字i，而这个数字不适合实数线上的任何地方。他们迈出了离开这条线的第一步，进入了“复杂的平面”，在那里，“虚构”的数字被错误地命名为“虚构的”数字，而在战舰游戏中，像大写字母这样的实数与数字配对。在这个平面世界里，“复数”代表着箭头，你可以用加法和减法来滑动，或者用乘法和除法来旋转和拉伸。

爱尔兰数学家汉密尔顿是经典和量子力学中“哈密尔顿”算符的同名者，他希望通过增加一个假想的j轴来爬出复杂的平面。这就好比米尔顿·布拉德利(Milton Bradley)用一列小写字母把“战舰”(Tattlesship)变成了“战舰”(TattlessubbMarine)。但是有一些关于三维的东西打破了汉密尔顿能想到的每一个系统。加州大学河滨分校(University of California，Riverside)数学家约翰·贝兹(John Baez)说：“他肯定尝试了数百万种方法，但都没有奏效。”问题是乘法。在复平面中，乘法产生旋转。无论汉密尔顿如何尝试在3-D中定义乘法，他都找不到一个总是返回有意义答案的对立除法。

要想了解是什么让3D旋转变得如此困难，可以将转动方向盘与旋转地球仪进行比较。轮子上的所有点都以相同的方式一起移动，因此它们被乘以相同的(复数)数字。但是，地球上的点绕赤道移动得最快，而当你向北或向南移动时，移动速度会变慢。最重要的是，两极丝毫没有变化。贝兹解释说，如果三维旋转像二维旋转一样工作，那么每个点都会移动。

1843年10月16日，令人眼花缭乱的汉密尔顿最终击中都柏林布鲁姆桥时，他在布鲁姆桥上刻下了著名的解决方案。解决方案是将地球粘贴到一个更大的空间，在那里旋转的行为更像是在二维空间中进行的。有了不是两个而是三个虚轴，i，j，和k，加上实数线a，哈密尔顿可以定义新的数字，就像4-D空间中的箭头。他把它们命名为“四元数”。到夜幕降临时，汉密尔顿已经勾勒出了一个旋转3-D箭头的方案：他证明，这些箭头可以被认为是简化的四元数，方法是将实部a设置为零，只保留虚部i，j，和k-汉密尔顿为这三个三元组发明了一个词“向量”。旋转一个3-D矢量意味着将它乘以一对完整的4-D四元数，其中包含有关旋转方向和旋转程度的信息。要观看四元数乘法的实际操作，请观看人气数学动画师3Blue1Brown最新发布的视频。