如何直观地编写光线跟踪器

在我的上一篇博客文章中，我展示了我在BBC Micro：Bit上的光线跟踪器。在那篇文章中，我略微谈到了什么是光线跟踪器，但没有讨论如何实际实现光线跟踪器。如果你不知道什么是光线跟踪器，请务必先阅读那篇文章。

这篇文章详细讨论了光线追踪器，逐步告诉你计算过程。它不是最先进的光线追踪器--事实上它就像它们来得那么简单。它在每个像素发射一条光线，不支持反射或折射。但是，一旦你理解了数学，你应该能够根据你的需要来调整它。

我故意没有包含任何代码示例，而是用文字、数学和图片进行解释。这可能看起来很可怕，但请相信我，光线跟踪并不复杂。如果我包含代码示例，您可能只会复制它们，而不会真正理解发生了什么。

在这篇文章结束时，您应该对光线跟踪器的工作原理有了一个直观的理解，您应该能够自己编写代码，更多的高级读者将能够用额外的功能扩展他们的实现。

光线跟踪器模拟光线来渲染3D场景。在开始之前，我们需要定义我们想要渲染的场景。

在我们的简单实现中，场景包含一个照相机和许多三角形。我们在场景中仅使用三角形，因为它们是最简单的渲染形状。我们可以在称为三角剖分的过程中将更复杂的形状转换为三角形。

我们添加了四个金字塔形状的三角形和摄像机，摄像机的位置也是一个3D坐标，它决定了我们在场景中观看的位置。

这款相机很特别，因为它既有位置又有方向。这样我们就可以转动相机，环视场景。相机的旋转方式是(偏航)和(俯仰)。偏航控制左右旋转，上下旋转由俯仰决定。同样，这两种方式可以让相机看向任何方向。

三角形是平面的，是二维的，我们可以把一个三角形想象成无限大平面的一小部分。

我们把平面描述为，满足的任何值都在平面上，反之亦然。

平面的、和分量决定其方向。我们可以通过求平面法线的角度来计算它们。法线是与平面正交(直角)的线。

为了得到法线的角度，我们将使用两个矢量的叉积，叉积是一个代数函数，给定两个矢量，输出一个与两个矢量正交的新矢量。

要找出平面的法线，我们需要在相交的平面上有两个矢量，我们可以选取三角形的任意两条边。

我将使用相交于的两条线。我们可以通过查看从一端到另一端的坐标差来计算这两条线的角度：

现在我们有了两条线，我们可以计算法线，这就是叉积运算符。

我对矢量并不陌生，但我肯定不记得怎么做交叉产品了。对于同一阵营的任何人来说，以下是它的工作原理：

如果你想更深入地解释它是如何工作的，试试这个“数学很有趣”的页面。我不羞于说我在那个网站上花了很长时间。它可能是为孩子们准备的，但它肯定是有帮助的！

使用叉积，我们现在有了法线的角度。的值映射到平面的组件。

要计算最终分量，我们需要返回平面公式：

这里，简单地说是平面上的任意点。为简明起见，最后两行使用的是点积。它的定义为：

现在我们知道了，我们可以通过替换法线的值和平面上的任意点来计算它，选择三角形中你最喜欢的角并使用它。

回到原来的飞机公式，我们可以代入我们的值来简单地得到或者说，就是这样，我们已经计算出了飞机的公式！

现在是开始模拟光线的时候了。线的矢量表示(包括位置和角度)是：

是光线的原点。在我们的示例中，它始终与相机坐标相同。是光线的角度。它指定、和坐标在我们沿线移动时如何变化。该参数指定我们沿线走了多远。

你可能在学校学过类似的二维图形公式，这相当于说：

换句话说，对于每个增加的，增加，你可以沿线移动，使用，很容易看到这是如何扩展到在3D中工作的。

找到光线的原点很容易，所有光线都从相机位置开始，所以我们只使用它。

计算这条线的角度要复杂得多，这是我们沿着这条线移动时每个坐标变化的比率。

如果是这样的话，每增加一次，我们就会看到增加一倍，增加三倍，因为这只是一个比率，我们说还是不说都无关紧要。

我们可以通过观察坐标是如何沿着直线的已知部分变化的。我们将观察从相机到视图平面的直线部分。视图平面是位于相机前面的栅格。栅格中的每个单元格都是我们想要在屏幕上绘制的一个像素。

现在，我们只考虑最简单的情况。相机没有旋转，只是直视前方(方向)。我们正在计算中心光线的角度，它穿过栅格中最中心的像素。

在这种情况下，相机位置和视图平面中心之间的坐标变化很简单。在本例中，我们将视平面为固定宽度。由于屏幕是像素，因此每个像素的宽度和高度都是。

对于中心右侧的每个像素，我们必须加上。这意味着对于作为中心的像素，简单地说就是：

不过，这忽略了摄像机的方向。幸运的是，旋转矢量非常简单，我们可以简单地旋转以匹配摄像机的旋转。

既然我们都知道和，我们就可以计算光线路径上任何点的坐标。

我们终于准备好模拟我们的光线了。我们知道我们的光线从哪里开始，它们要去哪里，以及它们可能击中的一切。剩下要做的就是实际模拟路径，找出每条光线击中的是什么。

更准确地说，我们需要找出每个成对的射线/平面组合的交点，更准确地说，对于每个成对的射线和平面组合，交点是什么？

显然，必须同时在和上。我们可以代入公式以获得：

现在我们知道了，我们可以把它代入到上面的定义中，以计算的坐标。

并不是所有的交点都是有效的，我们只知道它和三角形在同一平面上，但我们只关心那些实际在三角形内的交点。

在执行任何其他检查之前，请注意。如果您的值为负值，您可以提前停止。该平面不会被光线击中，因为交点在相机后面。

然后，我们可以做一个快速的健全性检查，确保它在三角形的边界框内。如果不能在三角形内，因为它太左了。对或、和、或的每个组合重复此操作。

我们首先这样做，因为它比实际检查快得多，而且我们通常可以提前退出。如果在边界框内，我们需要执行完全检查，其工作原理如下：

要检查和是否在线路的同一侧，我们执行以下操作：

这同时使用了叉积和点积，叉积有一个与相同但方向相反的特殊性质。

这更进一步，说方向取决于它的哪一边，如果和在同一边，那么它们之间的角度就是，如果它们在不同的一边，角度就会是，如果和在一边，那么它们之间的角度就是，如果它们在不同的一边，角度就是。

当点积为正时，两个矢量之间的角度为，这意味着它们一定在同一侧。

如果和在同一条边，我们对三角形的三条边中的每一条边重复这一点，任何不在三角形中的交点都可以丢弃。

每条光线只能与一个三角形相交，因此我们需要找到最先命中的三角形。要计算光线行进的距离，我们可以在3D中使用毕达哥拉斯定理：

对于我们的简单实现，我们将每个像素的亮度设置为，这意味着离相机越近的像素越亮。任何不相交的光线都会产生黑色像素。

到此为止！您现在已经了解了所需的所有内容，并且可以编写自己的光线跟踪器。如果您想了解有关3D渲染的更多信息，请确保阅读以下内容：

如果您仍然迫切需要一些示例代码，您可以看看我上一篇文章中的代码，不管是哪种方式，您都应该自己先试一试。

完成基本光线跟踪器后，可以按从简单到困难的顺序添加以下一些附加功能：

如果你真的写了自己的光线追踪器，请在推特上给我看看(特别是如果你实现了引力透镜，你这个十足的疯子)。

我是Scott Logic的一名相当新的开发人员。我写的话题非常广泛--任何我觉得有趣、你也可能感兴趣的话题。在GitHub和推特上找我。