这是我的(扩展的)家谱：树上的每个人都至少有一个共同的祖先和至少一个共同的后代。这使得我的家谱成为一个网格，一个重要的数学结构。虽然格子通常以抽象代数形式表示，但它们有一个简单的图形表示，称为哈斯图，类似于家谱树。因为大多数格子理论都假定有很强的代数背景，所以我认为结果并不像他们应该知道的那样广为人知。我希望在这里给出一些晶格的样本，并暗示它们的力量。格是具有两个要求的结构：每两个元素都有一个最小上界。在上面的例子中，这是最近的共同祖先。
每两个元素都有一个最大下限。在上面的示例中，这是最年长的公共后代。
请注意，有些元素的界限可以是它们自己；例如，我和我母亲最近的共同祖先是我母亲。格子是描述偏序的一种自然方式，也就是说，我们有时知道哪个元素先来了，但有时不知道。例如，因为我和我母亲最近的共同祖先是我母亲，我们知道谁先来了--我母亲肯定更年长。因为我的母亲和父亲的最小上限是某个第三人称，所以我们不知道哪个人年龄更大。这里有四种不同的装满购物车的方法的例子：两组之间的线表示偏好：一个苹果总比没有好，但是一个苹果和一个香蕉比一个苹果更好。(请注意，箭头不是定向的，因为每个关系都有一个DUAL[例如，比它好的关系有一个比它差的对偶关系]。因此，无论你是从上到下还是从下到上阅读图表，都无关紧要。按照惯例，底部的东西比顶部的东西少。)。现在，有些人可能更喜欢苹果而不是香蕉，有些人可能更喜欢香蕉而不是苹果，所以我们不能在一个苹果和一个香蕉之间划清界限。尽管如此，我们仍然可以说，你喜欢两个都有，而不是只有一个，所以这个顺序是相当普遍的。在这种情况下，最小的上限是最差的购物车，它仍然优先于或等于这两个东西(不是很容易卷起舌头，不是吗？)，最大的下限是仍然比这两个东西都差或等于的最好的购物车。由于这两个操作的存在，这意味着购物车(或者更确切地说，可能在购物车中的商品)组成了一个网格。大量的经济和伦理问题涉及偏好，这些偏好可以放入像这样的格子中，这使得格子理论成为解决这些问题的有力工具。这是一个更经典的数学网格：这里，两个整数之间的一条线表明，较低的一个是较高的一个的一个因子。这个格子中最小的上界是最小公倍数(LCM)，最大的下界是最大公约数(GCD，有人称它为最大公因数)。4和10的最大公约数是2，2和3的最小公倍数是6。同样，我们没有总的排序-2不是3的因子，反之亦然-但我们仍然可以说一些关于顺序的事情。关于格的一组重要问题涉及不改变格结构的运算。例如，$k\cdot\gcd(x，y)=\gcd(kx，ky)$，因此乘以整数将保留此晶格。晶格乘以3仍保留可除性关系。关于整数格中的GCD/LCM的许多事实在所有格中都是正确的；例如，$x\CDOT y=\gcd(x，y)\cdot\text{lcm}(x，y)$。这是您可能见过的最简单的格子示例：假设我们将其描述为False小于True。则运算AND变为等价于运算"；MIN&34；，并且运算OR变为等价于运算"；MAX&34；：请注意，这适用于更精细的等式，例如A AND(B OR C)=MIN{A，MAX{B，C}}。事实上，甚至更复杂的布尔代数都是格，所以我们可以用格的语言来描述复杂的逻辑门。现在我从格子的例子切换到一个强大的定理：[Holder]：每一个保持格子并且不使用不可比对象的操作都等价于加法。1个。
这一点的证明相当复杂，但有一个著名的例子表明乘法等同于加法：对数。关于对数的相关事实是$\log(x\cdot y)=\log(X)+\log(Y)$，这意味着将$x$和$y$相乘的问题可以归结为将它们的对数相加的问题。较旧的阅读