蒙特卡罗几何处理

2020-05-08 14:13:16

本文探讨了如何通过无网格蒙特卡罗方法高效、可靠地解决基于偏微分方程的几何处理中的核心问题。现代几何算法经常需要求解几何复杂区域上的类泊松方程。传统的方法通常是将区域网格化,这对于具有精细细节或缺陷(孔洞、自交点等)的几何体来说既具有挑战性,又成本高昂。相比之下,无网格蒙特卡罗方法完全避免了网格生成,而只计算最近点查询。因此,即使在极具挑战性的模型上,它们也不会离散化空间、时间,甚至也不会离散化函数空间,也不会提供精确的解决方案(在预期中)。更广泛地说,它们与蒙特卡罗方法共享照片级真实感渲染的许多优点:出色的缩放、简单的并行实现、依赖于视图的求值,以及处理任何类型的几何体(包括隐式或过程描述)的能力。我们开发了一个完整的“黑盒”解算器,包括集成、减方差和可视化,并探索如何将其用于各种几何处理任务。特别地,我们考虑了Rn的固体区域上几个基本的常系数线性椭圆型偏微分方程。总的来说,我们发现Monte Carlo方法大大拓宽了几何处理的视野,因为它们很容易处理传统方法根本无法处理的尺寸和复杂性问题。