这是一篇解释性文章，介绍了有理三角（RT）的基本框架，这是一种纯代数的方法，可以替代通常涉及超越（即无限）过程的经典三角。本文还展示了平面几何中深刻的三重对称色几何是如何从应用于欧几里德几何和两个相对论几何的RT中产生的。这篇论文将发表在G。
尝试理性三角法是一种纯粹的代数方法，用于测量研究三角，代表
欧几里得ean（蓝色）几何与两个相对论几何（红色和绿色）。它开辟了许多新领域
几何调查指导，激励我们超越K lein的Erlan gen项目。
Rational T rigonometry是一种三角学理论，它提供了一个主要用于解决几何问题的代数工具箱，
测量和工程问题以更高效、更优雅的方式解决三角形。它是开发出来的
作者在其2005年的著作《神圣的支持：理性的严格计量学到普遍计量学》（见[4]）中指出
现在可以在Researc h Gate免费下载。这个理论使用了四边形、扩展和四边形
给出了一个更简单、更强大、更精确的三角理论，
令人惊讶的是，一旦一个人理解了有理三角学的原理，他就会意识到-
度量表本质上是不必要的，如果代数视图-
从笛卡尔时代起，几何学的观点一直保持不变。我们目前的制度（所谓的"；现状）
三角学"；）通过将三角形的测量研究与数学相结合，搅浑了数学之水-
圆周匀速运动的数学。从本质上讲，这些实际上是相当不同的主题，并保持它们
以下是所有学生都学习的两个基本三角形；基本上只有
在图1中，我们看到通常的长度为1；1和P2已经被所谓的四边形所取代，
值为1；1和2：不难猜测距离和四边形之间的关系是什么：距离
是四边形e的平方。对于我们这些倾向于病房的人来说
能够避免平方根是非常令人愉快的，并且避免了需要截断而失去准确性。
通常的45度角 ;45 和90 ;或者在弧度系统中= 4. 0 : 785 398 :::; = 4. 0:785398:：和
在图2中，我们看到了一个通常角度为60的等边三角形 或= 3. 1:047 197:：：替换为
有理三角学打开了一扇大门，通向一种强大的、更普遍的方法，来研究具有几何意义的度量几何
具有一般双线性形式（包括相对论几何）的度量几何，适用于任意…ELD，
与线性代数的联系变得更加自然——而且更加彻底
RT是pap-er计算的理想选择。我们将在familar ZOME结构的背景下展示这一点
系统使用一组彩色支柱连接小白球。这些物体的几何学可能值得研究
克莱恩的Erlangen项目（见[5]，[4]）。事实证明，欧几里得平面几何（蓝色）结合了
相对论几何学（红色和绿色）以一种令人惊讶的方式将它们联系在一起，几乎触及了宇宙的方方面面
RT的另一个方面是，它引入了一个新的丰富的正交多项式族，称为spread
多项式并表示为sn（S）；n=0；1.2.3. 这是切比雪夫多项式的一个新的位移，但是
在本文中，我们非正式地向读者介绍了这一新的几何学观点的一些方面。但是
我们还应该提到，R T远远超出了本文的简要介绍，并对
三角形几何（[3]、[2]）、圆锥截面（[1]）、双曲和椭圆几何（[7]、[8]、[9]、[10]）。
我们从对称双线性形式开始，写为点积v W关于二维向量/线性方程组
空间我们通常对三个特定的例子感兴趣，分别表示蓝色、红色和灰色：
一般地，我们考虑一个非退化双线性形式，这意味着相关的对称矩阵是
假设是可逆的。这种对称的双线性形式在通常意义上是垂直的，即向量
我们现在可以重新体验一下上述三种几何图形是如何相互作用的。在图3中，我们
看到点a和线l；以及从A到l的三个不同高度；蓝色、红色和绿色
是斜率为1或1的直线的（欧几里德）重切 1：绿色垂直等于线条
定理1（彩色高度）蓝色和红色的高度是垂直的，蓝色和灰色的
现在我们以一种完全代数的方式介绍主要的韵律概念。给定对称双线性形式
A 1A 2表示从A 1到A 2的矢量：我们将使用图4的图示惯例来表示
然后通常的距离被定义为这个四边形的平方根
但我们不会使用距离，只使用四边形，这样就不需要担心长度或近似值
它们没有与之相关的易于定义的距离函数。这意味着传统的
欧几里德几何学通常不适用于这些几何学，尽管它们与现代物理学有关。但是
从R T p的角度来看，红色和绿色的几何图形与蓝色的欧几里德几何图形一样有效，也同样有趣。
这是数学中最著名的定理，以及最重要的单线证明！
我们对直角三角形的情况感兴趣，如图5中的欧几里得蓝几何学。但两者都有
声明和证明不会假设我们是在欧几里得的情况下工作。我们表示这条线
注意，这里的语句是完全代数的，不需要任何中间变量"；非理性"；
数量，如"；长度"；。还要注意，对于任何对称双线性，语句和证明都是有效的
形态，以及任何……eld，只要我们不在特征二。这是一个非常基本的重要理解。
这表明了一个熟悉的事实，即对称双线性形式由相关的二次形式决定-
再次假设我们不是在一个典型的两个…领域。让我们举一个毕达哥拉斯定理的图示例子
…在通常的欧几里德（蓝色）设置中。在图6中，我们看到了古希腊人的原始方位，
在图7中，我们看到了毕达哥拉斯定理在双线性相对论红色几何中的图示示例
在这个几何学中，我们保持轴方向的轨迹k，并且当
它们是一条斜率为1或1的直线上的欧几里德回归 1：所以我们看到一个（红色）直角三角形与（红色）垂直
双方在第三次会议上会面；以及在这些边上建造的三个（红色）广场。一条边的四边形就是
基本上是通常的面积（这是一个a¢ne，而不是一个度量量），但两者都有可能
正区域或负区域，取决于所讨论的线段是否为"；空间状"；或"；时间就像"；。
一个相关的新特征是，也有n条四分之一为零的全直线，它们对应于这里
我们将留给读者用格林几何中的一个例子来验证毕达哥拉斯定理
在这种情况下，直线在水平或垂直方向上都是欧几里得方向，因此它们是精确垂直的
垂直线，当直线位于水平或垂直方向时，它们精确为空。
这是数学中第二个最重要的定理！这是毕达哥拉斯定理的姊妹定理，
关注的是，当我们有三个人做平价线，而不是垂直线。在里面
换句话说，这是三个共线点的情况，如图8所示。首先让我们注意到，由于双线性形式
定理3给出了三个p点A 1；A 2和A 3；我们有一个1A 3 jj A 2A 3当
= 4 （v）1v 1）（v 2v 2） （v）1v 2）2 :
如果v1=（x1；y1）和v2=（x2；y2）；然后使用矩阵C的条目进行直接计算，结果表明
既然我们假设双线性形式是非退化的，我们知道 b 26=0：所以我们可以
得出结论：向量v1和v2的并行性；这相当于x1y2x2y1=0；也相当于
在R T中，我们避免了角度和圆函数及其反函数的超越方面。这个
spread s是v-Vector v 1和v-2之间距离的合理测量：由三个四边形驱动
在欧几里得平面上，spread有一个令人愉快的替代公式，使用斐波那契的恒等式，如
它还表明，在欧几里德（蓝色）框架中，扩散从0到1；最多
然而，对于更一般的双线性形式，我们必须做好准备，以防扩散可能不会发生
因为分母Q（v1）Q（v2）为零，因为一个或两个向量为零。
对于研究狭义相对论的物理学家来说，这是一种熟悉的可能性，但对于欧几里得的物理学家来说，这更为陌生
例如，在红色几何中，向量v+=（1；1）是一个空向量，因为v v=0；因此，传播
参与必然是不确定的。怀特岛的保罗·米勒发现了以下简单的方法
计算息差的方法。将半圆的水平直径从0线性调整为1：如果直径满足
标记为1的点处的线；在半圆上的第二个点，扩散就是线性值
在图10中给出了s=0:14:W的排列，我们还可以看到我们用来表示a中排列的符号
图-连接两条相关线路的短线段。这只需要0到0之间的线性比例
1在半圆下，所以它实际上比传统的量角器简单得多。
向量之间的扩散概念扩展到了线之间的扩散概念。我们认识到这一点
根据传统的三角学，线与线之间的距离是sin2从某种角度来说在队伍之间。允许
美国强调，传播的概念是在线之间定义的，而不是射线。特别是，它还扩展到更多的领域
除了毕达哥拉斯定理和三重四元公式的两个基本定律外，还有三个其他的定律
我们假设一个三角形a 1A 2A 3，其四边形为Q 1；问题2；Q 3和s 1；s2；图11中的S3A。这个
以下三条定律明显类似于余弦定律、正弦定律和角之和
一个重要的特例出现在直角三角形的情况下，如图12所示。
在这种情况下，我们有s3=1；所以传播定律允许我们推断出另一个重要的结果
我们通常会快速评估价差为"；斜边四边形上的反四边形"；。
我们认为，毕达哥拉斯定理现在暗示了
我们现在在这个环境中勾勒出主要定律或有理三角学的证明。只有一些基本的
需要使用通用对称双线性形式进行操作。设置为ab ove，带有三角形
证据让我们从十字架定律开始。我们用向量重写表达式，得到
这是四边形q1的对称函数；q2和q3，我们称之为三角形的四边形。
在欧几里德的情况下，方程4q1q2s3=Ais告诉我们，四分面积A实际上是16倍
三角形面积的平方，因为量q1s3是三角形高度t乘以
四边形Q 1的Ain项的先前表达式；因此，q2和q3可以被视为一个理性的变量
证据最后我们得到了三重spr-ead公式。在扩散定律中，我们引入了
应该强调的是，这种对三角学基础知识的布局和推导可能是一种挑战
数量级比目前在sc学校教授的通常故事要简单！这是一个非同寻常的地方-
是的。当然，我们有机会重新思考几何计算和数学
有理三角学通过一个显著的方差t为正交多项式理论开辟了新的方向
把切比雪夫多项式称为扩散多项式。本节遵循第8章的讨论
定理8（等距）如果L1、L2和L3是s（L1；L2）=s（L2；L3）的非零线 sas在两个
这促使我们引入第二个扩展多项式S 2（S） 4 s（1）s）：这也被称为
logistic映射，在混沌理论中扮演着重要而非不相关的角色。事实上，扩散多项式
是一个多项式序列，可以递归定义如下：s0（S） 0 ; S1(S) 那就用沙子吧
在欧几里德几何中，我们特别感兴趣的是范围内的扩展多项式的v值
0 s 1：图15和？？显示s1（S）到s5（S）的图表；以及它们如何愉快地振荡
这些多项式对于RT的重要性被下面的结果所捕获。
定理10（递归扩散）F或任意n 1和任何数字s；f S n 1（s）；sS n（S）G满足三重
这意味着，如果我们有n+1个并发行，每个行都与前一行进行交换，并且
与之前的不同，那么…rst和（n+1）-st线将构成sn（S）的扩展：
扩散多项式与第一类切布雪夫多项式密切相关
由于S.Goh和M.Hirschhorn，也有一个明确的公式：
5秒=25秒 200s 2+560s 3 640s 4+256s 5=s 5. 20秒+16秒2 2.
7秒=49秒 784s 2+4704s 3 13440S 4+19712S 5 14336s6+4096s7
S.Goh观察到，扩展多项式具有切比雪夫函数所具有的一个显著的可因子分解性质
多项式不会！有一系列多项式 k=1时的k（s）；2.3. 这样对于任何自然的
5(s) 5.20秒+16秒2 2. 6（s）=（1） 4 s）2
7(s) 7.56秒+112秒264秒3 2. 8（s）=4 1. 8秒+8秒2 2 :
比如说因为 12(s) 1.16秒+16秒2 我们可以推断
第12条（S）= 1(s)2(s)3(s)4(s)6(s) 12(s)
=16秒（1） （s）（3） 4 s）2（1） 2 s）2（1）4 s）2 1.16秒+16秒2 2:
在我看来，对扩展多项式的研究将为正交多项式理论开辟新的篇章
作为R T如何变换经典定理的一个例子，考虑斯图尔特定理，它经典地给出了一个定理。
三角形的边长和边长之间的关系。马修·斯图尔特出版
这导致了1746年。在图17中，我们看到一个四边形为q1的三角形；问题2；问题3；塞维安人的三维四边形
r3；其他四分之一由塞维安的R1和R2决定：这是现代公式，
如果我们将其中一个方程除以另一个方程，则项（1 r）消失，我们得到结果。
注意Stewart定理给出了r3的二次方程，如果我们知道r1；r2；问题1；问题2：古典形式
为了便于比较，定理中包含了相应的长度，比如q1；问题2；问题3；r3；r 1和r 2：是的
将适用于三个共线点的T-Triple四边形公式扩展到四个共线点
定理12（四四公式）假设A为1；A 2；A 3和A 4 ar e共线点
三重排列形式也有相应的扩展。去…去…去功能
定理13（四重展开公式）假设l1；l2；对于
通过对循环四边形的研究，我们可以了解这些更复杂关系的作用
定理14（对向排列）对向排列r 12；r 23；循环四边形sat的R34和R14-
让我们给出一个三维几何的理论应用，涉及一个右四面体，如图所示
19.三角形A 1A 2A 3在这里是一个水平直角三角形，是顶点为B的四面体的底部；这就是
A 3正上方：A 1A 2A 3的四边形为Q 1；Q 2和Q 3很常见，我们也有r 1；R2和
我们有兴趣确定这三个价差之间的关系。结果是
这也许令人惊讶，因为它独立于四边形q1；Q 2和Q 3：公式也可以是
被解释为投影有理三角学的一个基本定律，实际上是毕达哥拉斯的球面类比
这里是一个推导：使用毕达哥拉斯的三个三角形定理，以及垂直四边形
色几何学指的是平面几何学中的一个新发现：两个物体之间有三重对称
蓝色、红色和绿色的几何图形。这带来了许多令人惊讶的后果，并有望改变我们的生活-
即使是站在几何学的实际意义上——它也肯定会让我们远远超越克莱恩的厄兰根计划。
在这里，我们从三角形几何学中领略这一理论——但以一种相当新颖的方式进行了扩展！
在笛卡尔平面上，图15显示了一个三角形a 1A 2A 3和一些显著的物体组合在一起
蓝色、红色和绿色几何图形的各个方面。这是一个相当复杂但内容丰富的图表，表明
熟悉的欧几里得-欧拉线的故事以一种可爱的方式延伸到相对论几何，而这一切
我们可以看到通常的（蓝色）欧拉线e b；通过通常的（蓝色）正交中心O b；和（蓝色）环-
中心C b；以及质心G；这是一个变量。事实上，欧拉线将这些点分成两部分
比例为1:2；还包括九点中心b；这是O b和C b之间的中点；而且
通过三个中点m1的圆心；M 2和M 3的侧面（这些也是一个
但现在我们看到还有一条红色的欧拉线e r；穿过红色正中心O rwhic h是
三角形三个红色高度的交汇处，以及三个红色高度交汇处的红色外心C R
三角形的垂直平分线，以及我们看到的三角形的红色外接圆的中心
作为一条矩形双曲线，具有沿斜率1和1的红色零线的渐近线 1：而且是一样的
在蓝色的情况下，a/ne比率保持不变。而O rC ris的中点又是红色的九点中心
此外，绿色欧拉线的情况也完全相同；还有绿色的奥甘德中心
但更值得注意的是，这三种颜色相互作用，一些人盯着这个数字就会看到
揭示事实上，这三条欧拉线只是欧米茄三角形的中线；谁的中点是
太阳中心。您可能还注意到，蓝色和红色正交中心位于绿色外接圆上，并且
蓝色和红色的圆周中心位于绿色的九点圆上。
......