“乘法等于加法”有什么问题?

2021-03-03 21:05:21

Myrtle称其为这篇文章,发表了上千篇文章……,并在此博客和其他几个博客上增加了评论,这可能并不过分夸张。但是,讨论感到不完整-我还没有说出我想说的所有话。因此,冒着再次暴露出我对数学的无知的风险,我将尝试对Keith Devlin的乘法文章做出另一种回应。

让我先说一下,我作为老师而不是数学家讲话。我没有资格也无意就Peano公理的含义争论不休。我的经验主要是教授从基本算术到基本代数和几何的K-10。我记得我大学数学课程中只有片段,那是在我们更担心核冬天而不是全球变暖的时代。

小学生将使用加法解决开始的乘法问题。他们还能做什么?他们还没有学会乘法。

乘法表最初是通过重复加法构建的,因为我们的学生将每一行和每一列中的数字相加(或计数)。即使是成年人,一旦被遗忘的数学事实所困扰,他们也会反复使用加法来找出答案。

重复加法确实为整数的任何乘法给出了正确答案。有时,麻烦多于其应有的价值—谁想累加957×842?但是,通过使用分配属性,可以将整数的任何乘法简化为重复的加法计算:4×3 =(1 +1 + 1 +1)×3 = 3 + 3 + 3 + 3

有理数乘法可以作为部分的加法来计算。这就是埃及抄写员处理分数乘法的方式。不过要小心!要计算这些部分,需要一个乘积-或更确切地说,是它的逆除数。因此,要将其用作定义,就必须诉诸循环推理。

最后,我认为我们都可以同意重复添加是解决问题的重要工具。重复加法可以帮助学生思考简单的乘法单词问题。它并不总是有效,但有时它是了解情况的最快方法。

那么,“乘法是重复加法”的定义又有什么问题呢?也许错误的措辞太过强烈-也许从某种深层的理论意义上讲,至少对于整个数字来说,这种说法都是正确的-我将把论据留给数学家。 (例如,请参见Peano算术中如何真正定义乘法。)但是作为老师,这个短语肯定会引起误解。

好像有两种类型的加法:常规,随机,“野生”加法以及我们为之加倍乘号的特殊品种的加法。那真的就是我们希望我们的学生思考的方式吗?乘法不仅仅是加法的一个亚种。乘法是它自己的动物,是独立的运算。

[Sidetrack:糟糕!我忘记了零没有乘法逆。乔纳森指出了我的错误。]

[另一边注:我发现有趣的是重复减法可以解决某些除法问题,就像重复加法可以帮助理解乘法一样。减法在长除法算法中起着重要作用。我想有人会争辩说,这毕竟是证据乘法是重复加法的。]

尺寸分析意味着查看数量的尺寸(度量单位),以帮助您解决科学或工程问题。

加法需要相同的单位。总和必须始终与加数具有相同的单位:

第二个方程式给您带来什么?水果沙拉?为了增加具有不同单位的数量,我们需要找到一个共同的分母。苹果和橙子都是水果,所以…

乘法需要不同的单位。该乘积与乘数或被乘数的单位不同。

我们如何使乘法与重复加法相同?唯一的方法是更改​​单位。

在数学课上使用素数时,通常不考虑尺寸分析。但是事实仍然是乘法以加法不会改变的方式改变事物。

这就是为什么小数加法和小数乘法的规则如此不同的原因。当您添加正有理数时,您总得到的总和要大于任一加数。但是,当您乘以有理数时,所有赌注都消失了—产品可能更大,更小或介于数字之间。

加法:加数+加数=总和。加数是可互换的。这由它们具有相同名称的事实表示。

乘法:乘数×被乘数=乘积。乘数和被乘数具有不同的名称,尽管我们许多人都难以记住哪个是哪个。

不同的名称表示功能上的差异。乘数和被乘数在概念上是不可互换的。确实乘法是可交换的,但是(2行×3椅子/行)与(3行×2椅子/行)不相同,即使两组都包含6个椅子。

在乘法中,我们引入了一种全新的数字类型:被乘数。一个奇怪的新概念是乘法的核心,这是学生从未见过的。

比率不是一个可计数的数字,而是一种新的东西,比学生到目前为止所见的东西抽象得多。

加减法后,数字便算出您拥有多少东西。如果您得到更多的东西,数字就会更大。如果您丢失了一些东西,数字会变小。数字用于衡量Cookie,马匹,美元,汽油或其他任何东西的数量。

被乘数不计算美元数也不计算汽油量。它告诉了它们之间的关系,即每加仑美元,无论您购买多还是少,都保持不变。

通过告诉我们的学生“乘法是重复加法”,我们忽略了被乘数的重要性。但是,直到我们的学生努力理解比率的概念之前,他们永远无法理解乘法。

如果我们接受这个论点,如果我们同意不再将基本乘法定义为重复加法,那又如何呢?这如何影响我们的教学方式?

我们可以使用与现在几乎相同的方法来教授乘法,方法是使用按组或行排列的操作,乘法情况的图片以及点或块的矩形阵列。但是,我们不想将学生的注意力放在加总答案的过程上,而是要关注项目按大小相等的组排列的事实。

教给孩子有用的单词“每”以及如何识别“每该”单元。

让他们在工作簿中标记数量:每个学生3个饼干,每个花瓶5个花,每个外星人1只眼睛,或其他。

如果我们需要一个简单的基本级别的流行语来代替“乘法是重复加法”,那又如何呢?

与任何此类短语一样,该语句无法捕获所有乘法。随着学生了解有理数,必须扩大定义。 “哦,看!我们可以只计算一组的一部分,也可以用非整数的单位来度量。”有一天,我们的学生将不得不学习实数,复数和矩阵乘法。即使这样,该短语还是我们的学生在K-12中会遇到的许多乘法情况的重要方面:存在被乘数,一些“按此”的数量。

这种方法对于那些沮丧的学生(尤其是那些凝视空白的学生)特别有用,他们读了一个单词问题,然后问:“我要加还是乘?”

完成圈子后,我回到了我的第一个“重复添加”帖子。我希望您考虑使用条形图来表示算术运算的教学能力。这些图表在新加坡小学数学书籍中使用,并且根据一位评论家的说法,它们在俄罗斯和澳大利亚很流行。它们甚至开始出现在较新的美国教科书中,有时也被称为“磁带图”。

他们为小学生提供了一个绘画代数,可以帮助他们思考复杂的单词问题。

学生很容易看到加减法之间,或乘除法之间的逆关系。

由于它们是基于数字线的,因此这些图自然地扩展到有理数和实数,并且随着学生对知识的理解程度的提高,其应用也越来越广泛。

另外是“此与那”:将两个(或更多)金额放在一起。这是基本的加/减图:

乘法是“多少个单位”:测量或计算给定大小的零件。这是乘法/除法的图:

要了解有关使用条形图对算术问题建模的更多信息,请查看Mad Scientist的Ray Gun乘法模型:

乘法和重复加法之间真的有区别吗?还是我在这里倾斜风车?

老师甚至有必要定义乘法吗?还是老师的工作是提供大量的乘法运算实例?我们应该让学生们直觉自己的定义吗?

如果我们将注意力从“如何获得答案”转变为重点,并教他们确定被乘数,即“按此”单元,对学生有帮助吗? 还是会带来我从未考虑过的新困难? 是否有些学生毫无头绪,因为无论我们如何解释,他们只是不注意? 您是否尝试过使用条形图为基本算术情况建模? 如果是这样,您的学生对此有何反应? 如果您有兴趣更深入地研究儿童如何学习加法和乘法,我强烈推荐Terezina Nunes和Peter Bryant的书《儿童做数学》。 想要帮助您的孩子学习数学吗? 索取免费的24页问题解决手册,并注册以了解新书,修订版和销售或其他促销信息。