微积分基本定理视觉导读

微积分基本定理的初学者证明指南，为不太热衷于代数的人提供直观的方法，为热衷于精确的人提供代数的、稍微严格的方法。

你好!。我们将理解数学中最重要和最辉煌的证明之一。重要而出色，因为它减少了以前不可能解决的问题-将函数集成到发现导数的艺术中。但很快会有更多关于这一点的报道。

这一证明的精彩之处在于，有两种方法，它们都是相辅相成的，但也可以独立理解。首先，我们将看到定理的非正式陈述和证明的非正式陈述。这将给出我们正在做的事情的直觉和“本质”。这种证明本质上是直观的，不需要过多或复杂的代数。这一部分将在没有代数的情况下传达一些关键思想，但代价是不那么精确。接下来是正式的陈述和证明。这是可选的。为什么我仍然鼓励你去尝试和理解它，即使你与视觉校样相比，对“代数”校样并不是很满意？

视觉证明抓住了关键思想，但形式证明展示了数学家如何将这些思想转化为数学对象，然后证明关于数学对象的东西。

看过视觉证明后，即使你不遵循所有的细节，你也会对代数证明中发生的事情有所了解。

数学中的思想有时需要一段时间才能理解。花时间思考一些事情永远不会浪费时间。在以后的某个时间点上，这些想法将会合拍，或者在其他地方会派上用场。花在思考数学上的时间从根本上说是物有所值的。不过，我有点固执己见：)。

(非常)衍生品简介(针对那些以前没有接触过衍生品的人)。

导数是关于用直线逼近函数的。这个想法是，在一个点附近，切线提供了函数如何变化的相当好的近似值。

直线在某一点的导数可以看作是该点的“最佳”线性近似的斜率。

其思想是，对于许多函数，关于该函数的大量信息包含在使用线性函数来逼近它的过程中。显然，这个近似值并不完美，但是如果这样的近似值到处都适用，我们就会学到很多关于这个函数的知识：事实上，我们可以重新创建一个常量项的函数。

如果您想深入了解微积分的更多细节，在本文的末尾有一些关于了解微积分的导数和其他方面的资源。稍后我们还将更精确地定义导数。

然后，微积分基本定理告诉我们，如果我们定义F(X)是f(T)在0和x之间的图下面积，则F(X)的导数是f(X)。

让我们来领会一下这意味着什么。下面是一条红线，这是我们的函数f，我们想找出0和x之间的区域在x轴上被标记为红色。我们的函数F告诉我们，对于x轴上的每个点，该点曲线下的面积是多少。[请原谅我画得不好的‘x’]。

我们想要确定函数F在x处的导数是多少。我们可以使用图形计算器(我用的是desmos，但Geogebra也很好，而且是免费的)来绘制F(X)，我已经这样做了：

假设我们看一下F(X)接近x的最佳直线近似，这可能是什么样子？好吧，我们来猜猜看怎么样。

例如，当x=8时，我们可以说F(8.00001)由F(8)+0.00001*f(8)很好地近似。这一点的“视觉”证据是什么？

当我们使用近似F(x+dx)大致等于F(X)+dx*f(X)时，我们可以看到以下内容。Dx*f(X)由具有高度f(X)和宽度dx的红色矩形的面积表示。这是一个很好的线性近似吗？是!。改写一下，我们在x=8时的近似函数是F(8)+h*f(8)。我们还看到，该矩形包含F(X)通过转到F(x+dx)所获得的“几乎”所有面积。这可以在下面看到，我们“错过”的区域只是一个小的蓝色阴影区域，它比矩形区域小得多。

然而，我们可以在这个证明上做一些改进。是的，它在这张图上看起来确实是一个很好的近似值，但是它对所有的图都有效吗？毕竟，图形看起来可能非常不同。另外，我们如何定义我们的“最佳线性近似”呢？这导致使用一些代数来表述问题。

限制只是指查看当dx任意接近0时表达式会发生什么情况。因此，您可以计算以下序列，并查看它“趋向”到什么位置。

对于我们感兴趣的函数，您为‘dx’选择哪个序列并不重要，只要它趋向于0。

然后我们看到，当dx趋于0时，连接F(X)和F(x+dx)的直线的梯度极限被定义为我们的导数。这可以在下面看到。

我们使用极限是因为，虽然x=0.01或0.00001对我们来说可能看起来很小，但对于像x¹⁰⁰⁰这样的函数，0.01的差值会突然导致输出的巨大变化。这个极限意味着dx可以任意变小，这样我们总是可以放大到足够大，我们的函数可以用一条直线来近似。

*注：有些函数无论放大多远，局部都不能很好地用直线逼近到某一点，但这些都是改天要杀的龙，技术不同！*。

接下来，我们想要一些符号来表示0和x之间的曲线下的面积。我们写道：

*f(T)dt是什么意思？看待它的一种方式是f是某个变量t的函数，所以我们在t上积分。表示我们积分到什么程度的变量是x，所以积分的上限是x，但是我们把f(T)写成t的函数。除了避免两次使用‘x’之外，我们用哪个变量名来表示f实际上并不重要，因为那样我们就会赋予符号两种不同的含义。*。

其中，在第二行中，我们刚刚使用上面介绍的符号将F(X)定义为曲线下的面积。

这是因为我们只对x和x+dx之间的区域感兴趣。这在下图中可以看到，我们对红色区域非常感兴趣。

这里我们假设f(T)在t=x处是连续的。(我们实际上可以使用较弱的假设，但需要付出更多努力，正如我们将在最后一节中看到的那样)。

X处连续性的定义是什么？这需要一点时间才能让你头脑清醒！(将定义通读两遍，然后继续，因为我将用更非正式的语言解释它)。

这是什么意思？这意味着对于任何(小)数，我们可以在x周围找到一个小带，其中f(T)小于远离f(X)的那个小数。例如，您可以将“小”数字设置为0.001。然后，我可能会发现，如果t离x小于0.00001，那么我们可以保证|f(T)-f(X)|<；0.001。在本例中，假设x=8，则|f(8)-f(8.000001)|<；0.001，因为8.000001与8相差不到0.00001(计算零！)。

我们的想法是，当我们的输入t‘任意接近’到x时，f(T)就会任意接近f(X)。表达这个想法的一种方式是这样写：

基本上，我们把f(T)写成两部分之和：f(X)，以及f(T)与f(X)相差多少，f(X)是我们近似的“误差”项。我们近似的误差项趋于0，t接近x。

换句话说，当包含x的条带的长度趋于0时，该条带内的最大误差趋于0。我制作了下面的图表来说明这一点：

返回到前面的图表，红色矩形表示f(X)*dx，蓝色阴影区域表示误差项的积分。

我们要做的就是证明误差的积分除以dx，趋向于0。回想一下连续性的定义。如果我们将贴近度目标设为0.01，那么对于所有t适当地接近x，误差项都在0.01以内。然后，我们将积分宽度为dx，最大高度为0.01的东西。所以积分除以dx的值至多是0.01*dx/dx=0.01。

下面是一个直观的演示：绿色箭头双侧箭头表示距离x‘dx’范围内的最大误差项。显然，紫色矩形的面积高估了误差，因为它的高度总是大于或等于最大误差。图中显示紫色矩形的高度是误差最大的，宽度是DX。

因此，如果最大误差趋向于0，则误差除以dx的积分也趋向于0！

但是，正如我们已经看到的，在越来越窄的条带内的最大误差确实趋向于0。

事实证明，我们的方法仍然可以改进。首先，我们应该如何定义积分呢？“图形下的面积”作为一个概念是有用的，但如果我们想把微积分中的这些想法用在没有漂亮图形的函数和情况上，它不会对我们有所帮助。

然而，我不会详细说明分析入门课程的最终结果是什么，我只是给出一个概括性的概述。

我们在图表下面画矩形，并计算出它们的面积。由于矩形在每个点都低于图形，因此低估了面积。

当我们把长方形的底边变薄时，我们得到越来越好的近似值。

为了定义积分，当矩形底面的宽度趋于0时，我们看一下下分区和和上分区和的值的极限。如果这两个值相等，我们就说黎曼积分存在。

要证明微积分基本定理，我们有两个选择。如果我们假设f(X)是连续的，我们就如上所述。如果我们仅仅假设f(X)是Riemann可积的，但不一定是连续的，我们就不得不摆弄上下和，并使用一些其他的技巧。

总而言之，事后看来，这个定理很难证明，但现在它揭开了一些非常非常困难的问题。就像数学中经常出现的情况一样，最重要的定理找到了关于一整类问题的最相关的信息，然后使凡人(像我和你)能够解决以前即使是天才也难以解决的问题。事实上，这是一个数学学位的很大价值！让我们现在就把这样的问题解开吧。

为了解决这个问题，我们只需使用微分多项式的规则发现x^(n+1)/(n+1)可微分到x^n(如果您感觉很强烈，可以使用二项式展开来证明这一点)。然后，根据微积分基本定理，F(X)=x^(n+1)/(n+1)给出了0到x之间的面积公式，代入x=1即可求解。

微积分基本定理的有趣之处在于，如果没有人类的直觉和视觉思维，几乎不可能在一开始就给出相关的定义。事实上，在第IIIb部分中看到的严格分区定义中，我们从我们认为该区域应该是什么的想法开始，然后制定了一个我们认为可以恢复该想法的定义。

但这需要我们有能力使语言精确，将这些想法转化为数学对象，可以在不同的环境中进行操作，例如，使用与许多变量的积分，甚至是无限变量的积分，最终推广到勒贝格的积分理论，或者使用微分几何在奇怪而奇妙的表面上进行积分。

对于衍生品：如果你想尝试一下，可以在这里找到Geogebra的一个互动工具。如果你有更多的时间并且不熟悉导数，那么这段3Blue1Brown的视频给出了一些函数导数的非常好的几何视图，这给了你一种不同的可视化它们的方式。

微积分方面：3Blue1Brown的微积分精华系列很不错。汤姆·科纳的“野心家微积分”是一本不错的读物。可汗学院也有非常有用的微积分入门资源。

我欢迎所有的反馈，好的和坏的(但希望是建设性的)。如果你对如何让证明变得更容易理解有什么建议，而且我认为这个建议很好，我会试着付诸行动--伊森