门格尔海绵

跳转到导航跳转在数学上搜索，Menger海绵(也称为Menger立方体、Menger万能曲线、Sierpinski立方体或Sierpinski海绵)[1][2][3]是一条分形曲线。它是一维Cantor集和二维Sierpinski地毯的三维推广。1926年，卡尔·门格(Karl Menger)在他对拓扑维概念的研究中首次提出了这一概念。[4][5]。

把立方体的每一面分成九个正方形，就像魔方一样。这会将立方体细分为27个较小的立方体。

移除每个面中间的较小立方体，并移除较大立方体正中心的较小立方体，留下20个较小立方体。这是级别1的门格海绵(类似于空心立方体)。

对剩余的每个较小的立方体重复第二步和第三步，然后继续无限迭代。

第二次迭代提供2级海绵，第三次迭代提供3级海绵，依此类推。门格海绵本身就是此过程经过无限次迭代后的极限。

Menger海绵的第n级Mn由20n个较小的立方体组成，每个立方体的边长为(1/3)n。因此，Mn的总体积为(20/27)n。Mn的总表面积由表达式2(20/9)n+4(8/9)n给出。[6][7]因此，结构的体积接近于零，而其表面积无限制地增加。然而，随着施工的继续，在施工中选择的任何曲面都将被彻底穿孔，因此极限既不是实体也不是曲面；它的拓扑尺寸为1，因此被标识为曲线。

建筑的每个面都变成了Sierpinski地毯，海绵与立方体的任何对角线或面的任何中线的交点是Cantor集。海绵的横截面穿过它的质心，垂直于空间对角线，是一个正六边形，上面有六个对称排列的六角形。[8]这些字形的数量按大小递减由a n=9 a n−1−12 a n−2{\displaystyle a_{n}=9a_{n-1}-12a_{n-2}}给出，其中0=1，a 1=6{\displaystyle a_{0}=1，\a_{1}=6}[9]。

海绵的豪斯多夫尺寸为LOG-20/LOG-3≅2.727。门格海绵的勒贝格覆盖尺寸为1，与任何曲线相同。Menger在1926年的构造中证明了海绵是一条万能曲线，因为每条曲线[Ru]都同胚于Menger海绵的一个子集，其中一条曲线指的是覆盖一维的Lebesgue紧致度量空间；这包括具有任意可数个边、顶点和闭环的树和图，它们以任意方式连接。同样，Sierpinski地毯是可以在二维平面上绘制的所有曲线的通用曲线。三维构建的门格海绵将这一想法扩展到不是平面的图形，并且可能嵌入到任何数量的维度中。

Menger海绵是一个闭集，因为它也是有界的，所以Heine-Borel定理暗示它是紧的。它的勒贝格测度为0。因为它包含连续的路径，所以它是不可数集。

实验还表明，对于相同的材料，具有门格海绵结构的立方体比没有任何孔隙的立方体可以更好地消减冲击五倍。[10]。

Mn+1：={(x，y，z)∈R3：∃i，j，k∈{0，1，2}：(3x−i，3y−j，3z−k)∈Mn和至多一个i，J，k=1}。{\displaystyle M_{n+1}：=\Left\{\Begin{Matrix}(x，y，z)\in\mathbb{R}^{3}：&；{\Begin{Matrix}\Existes i，j，k\in\{0，1，2\}：(3x-i，3y-j，3z-k)\in M_{n}\\{\Mbox{，最多}}i，j，k{\Mbox{等于1}}\end{Matrix}}\end{Matrix}}\right\}}。

MegaMenger是一个旨在建立最大分形模型的项目，由伦敦玛丽女王大学的马特·帕克和詹姆斯·麦迪逊大学的劳拉·塔尔曼首创。每个小立方体是由六张互锁折叠的名片制成的，四级海绵总共有96万张 000。然后在外表面覆盖上印有Sierpinski地毯设计的纸或纸板，以使其更美观。[11]2014年，建造了23块三级门格海绵，这些海绵组合在一起将形成一个分布式的四级门格海绵。[12]。

耶路撒冷立方体是埃里克·贝尔德(Eric Baird)在2011年描述的分形对象。它是通过递归地将希腊十字形孔钻入立方体而创建的。[13][14]这个名字来源于立方体的一个面，类似于耶路撒冷十字图案。

在立方体的每一边切一个十字，在原始立方体的角点处保留八个(秩+1)立方体，以及在秩+1立方体之间的原始立方体边缘上居中的十二个较小立方体(秩+2)。

每次迭代添加8个排名1的立方体和12个排名2的立方体，增加了20倍。(类似于门格海绵，但具有两个不同大小的立方体。)。无限次迭代产生耶路撒冷立方体。

四面体是一个基于四面体的分形，由四个较小的副本组成，排列在一个四面体中。[16]

贝克，克里斯蒂安；舍格尔，弗里德里希(1995)。混沌系统热力学概论。剑桥大学出版社。第97页。ISBN为9780521484510。

卡尔·门格(2013)。维也纳圈和数学座谈会回忆录。斯普林格科技与商业媒体。第11页。ISBN：9789401111027。

卡尔·门格(1926)，#34；Allgemeine Räume and Cartesische Räume。I.&34；，通讯至阿姆斯特丹科学院。英文译本转载于埃德加，杰拉尔德A.编辑。(2004)，“分形经典”，“非线性研究”，西维尤出版社。高级图书计划，博尔德，CO，ISBN，电话：978-0-8133-4153-8，Mr。

不列颠哥伦比亚省大学科学与数学教育研究组，数学几何：门格海绵。

^Chang，Kenneth(2011年6月27日)。“海绵之谜”--来自“纽约时报”(NYTimes.com)。

首页--期刊主要分类--期刊细介绍--期刊题录与文摘--期刊详细文摘内容。界面主导型多孔结构的冲击波消散。AIP前进。10(7)：075016。10.1063/5.0015179。

^埃里克·贝尔德(2011-08-18)。耶路撒冷立方。Alt.Fractals。，发表在“切线”杂志150上，“艺术分形”(2013)，第45页。

Iwaniec，Tadeusz；Martin，Gaven(2001年)，几何函数论和非线性分析，牛津数学专著，克拉伦登出版社，牛津大学出版社，ISBN978-0-19-850929-5，Mr 1859913。

周丽(2007年)，题11208：门格海绵的色数，美国数学月刊，第114(9)：842JSTOR，27642353。

珍宁·莫斯利(Jeannine Mosely)博士的“名片寄托海绵”(The Business Card Menger Sponge)--这是一个关于这个巨大的折纸分形的在线展览，在数字研究所(Institute For Figuring)展出。

Menger海绵动画-Menger海绵动画最高可达9级，讨论3D优化。