是小于或等于素数的一个很好的近似值,数字证据表明它总是大于例如,
这就提出了一个问题:第一次超过的时间是什么时候?1933年,利特尔伍德的学生Skewes证明,假设黎曼假设,它必须在一些小于或等于。
后来,在1955年,Skewes证明了在没有Riemann假设的情况下,对于一些小于。
到目前为止,这个界限已经有了很大的改善。我们现在知道这两个函数在附近的某个地方交叉,但我们不知道这是否是第一个交叉!
这是个不错的图案。但这种模式不会永远持续下去!它会持续很长很长一段时间…。但不是永远。
但不是所有人都会在某个时候停止工作,再也不会工作了。事实上,这对所有人来说都是绝对失败的。
直到我读到格雷格·伊根根据汉斯佩特·施密德的作品所作的解释,我才明白这一点。这一切都是关于卷积和傅立叶变换:
假设我们有一个矩形脉冲,以原点为中心,高度为1/2,半宽为1。
现在,假设我们一遍又一遍地计算这个函数的移动平均值,平均值是在半宽1/3的窗口中计算的,然后是1/5,然后是1/7,1/9,依此类推。
在这个过程的最初几个阶段,原始脉冲的几个特征将完全保持不变,但随后它们将在某个时间点突然消失。
第一个特征是F(0)=1/2。在原始脉冲中,点(0,1/2)位于平台上,这是一个完全恒定的段,半宽为1。重复取移动平均值的过程将蚕食这个平台,将其半宽缩小平均窗口的半宽。因此,一旦窗口的半宽之和超过1,则在1/3+1/5+1/7+…。+1/15,F(0)会突然降到1/2以下,但在此步骤之前,F(0)将保持不变。
第二个特征是F(-1)=F(1)=1/4。在原始脉冲中,我们在-1和1处有一个步长,但是如果我们在这里将F定义为左手和右手极限的平均值,我们得到1/4,一旦我们应用第一个移动平均数,我们就有1/4作为函数值。
在这种情况下,只要点(-1,1/4)和(1,1/4)被函数具有适当对称性的区域包围,F(-1)=F(1)=1/4将继续成立:它等于一个奇函数,从原点偏移并平移到这些中心。只要这对于比平均窗口更宽的区域是正确的,那么中心的平均值就不会改变。
每个对称斜坡的初始半宽为2(从高原的另一端延伸,沿x轴的距离相等),与高原一样,每次我们再取一条移动平均线时,它都会被蚕食掉。在这种情况下,要素将持续到1/3+1/5+1/7+…。+1/113,即总和首次超过2时。
∫sin(T)/tdt=π/2∫sin(t/3)/(t/3)×sin(T)/tdt=π/2∫sin(t/5)/(t/5)×sin(t/3)/(t/3)×sin(T)/tdt=π/2。
这里这些积分是从t=0到t=∞。施密德想出了一个他自己更持久的模式:
∫2 cos(T)sin(T)/t dt=π/2∫2 cos(T)sin(t/3)/(t/3)×sin(T)/t dt=π/2∫2 cos(T)sin(t/5)/(t/5)×sin(t/3)/(t/3)×sin(T)/t dt=π/2…。∫2 cos(T)sin(t/111)/(t/111)×…。×sin(t/3)/(t/3)×sin(T)/tdt=π/2。
由于Borwein,第一组积分对应于对我们的更平滑的脉冲序列进行傅立叶变换,然后计算F(0)。Sinc函数的傅里叶变换:
与半宽w的矩形脉冲成正比,并且sinc函数乘积的傅立叶变换是它们的变换的卷积,在矩形脉冲的情况下,这正好等于取移动平均值。
施密德积分来自于增加了一个巧妙的扭曲:2cos(T)的额外因子将积分从零频率傅立叶分量移到角频率为-1和1的分量之和,因此结果取决于F(-1)+F(1)=1/2,正如我们已经看到的,这种情况持续的时间比F(0)=1/2长得多。
·汉斯佩特·施密德(Hanspeter Schmid),两个奇怪的积分和一个图形证明,埃莱姆。数学课。69(2014)11-17。
我问格雷格,我们是否可以推广这些结果,给出最终失败的更长的恒等式序列,他向我展示了如何:你可以只取博尔文积分,并将数字1,1/3,1/5,1/7,…替换为1,1/3,1/5,1/7,乘以某个正数序列。
那么只要它超过1就等于了,但当它超过1的时候就不一样了。你可以在维基百科上看到完整的解释:
只需做一点工作,就可以使这些估计值大大提高,尽管还需要更多的工作才能找到其中的确切价值。