里程碑式的数学证明扫清了Top Erdő猜想的障碍

一对数学家解决了关于整数的加性的最著名猜想之一的第一个问题。这个猜想是由匈牙利传奇数学家paul erdős在60多年前提出的，它提出的问题是，一个无限的整数列表何时才能确保包含至少三个等间距数字的模式，如26、29和32。

Erdő在他的职业生涯中提出了数以千计的问题，但哪个数字列表包含等间距的数字(数学家称之为算术级数)是他一直以来最喜欢的问题之一。剑桥大学的蒂莫西·高尔斯(Timothy Gowers)说：“我想很多人都认为这是Erdő的头号问题。”高尔斯在1998年获得了菲尔兹奖，他花了很多时间试图解决这个问题。他说：“很好，任何雄心勃勃的加法组合学家都曾尝试过这一点。”他指的是该猜想所属的数学分支。

通常，密集的数字列表比稀疏的列表包含算术级数的可能性更高，因此Erdő提出了一个简单的密度测试：只需将列表上数字的倒数相加即可。如果你的数字足够多，使得这个和是无限的，Erdő猜想你的列表应该包含无限多个有限长度的算术级数--三元数、四元数等等。

现在，在7月7日发布在网上的一篇论文中，剑桥大学的托马斯·布鲁姆(Thomas Bloom)和斯德哥尔摩大学的奥洛夫·西萨克(Olof Sisask)证明了这个猜想，当涉及到5、7和9这样的等间距三元组时，两人已经证明，每当一个数字列表的倒数和是无穷大时，它肯定包含无限多个等间距三元组。

加州理工学院的内茨·卡茨说：“这个结果在很多年里都是一个里程碑式的目标。”“这是一件大事。”

倒数和为无穷大的一个集合是素数，这些数只能被1和它们自己整除。在20世纪30年代，约翰尼斯·范德科普特(Johannes Van Der Corput)利用素数的特殊结构证明了它们确实包含无限多个均匀分布的三元组(如17、23和29)。

但布鲁姆和西萨克的新发现意味着，你不需要深入了解素数的独特结构就能证明它们包含无限多个三元组。你所需要知道的就是素数足够丰富，它们的倒数之和是无穷的-这是数学家们几个世纪以来就知道的事实。牛津大学(University Of Oxford)的汤姆·桑德斯(Tom Sanders)在一封电子邮件中写道：“托马斯和奥洛夫的结果告诉我们，即使素数的结构与它们实际的完全不同，但只要有尽可能多的素数，就能确保算术级数的无限大小，”牛津大学(University Of Oxford)的汤姆·桑德斯(Tom Sanders)在一封电子邮件中写道。

这篇新论文长达77页，数学家需要时间仔细检查。但许多人乐观地认为这是正确的。卡茨说：“这一结果的证明看起来确实应该是这样的。”卡茨的早期工作为这一新结果奠定了很大的基础。

布鲁姆和西萨克的定理暗示，只要你的数字列表足够密集，一定会出现某些模式。这一发现遵循了牛津大学的萨拉·佩鲁兹(Sarah Peluse)所说的这一数学领域的基本口号(最初由西奥多·莫兹金(Theodore Motzkin)提出)：“完全无序是不可能的。”

如果列表足够稀疏，就很容易创建一个没有算术级数的无限列表。例如，考虑序列1，10,100，1,000，10,000，…。(其倒数和为有限小数1.11111…)。。这些数字分散得如此之快，以至于你永远找不到三个均匀分布的数字。

不过，您可能会想，是否有密度更大的数字集仍然避免了算术级数。例如，您可以沿着数字行走下去，保留没有完成算术级数的每个数字。这将创建序列1、2、4、5、10、11、13、14，…。一开始看起来相当密集。但当你进入更高的数字时，它会变得令人难以置信地稀疏-例如，当你达到20位数字时，到那个时候，只有0.000009%的整个数字在你的清单上。1946年，Felix Behrend想出了更密集的例子，但即使是这些例子也很快就变得稀疏了--最多20位数的Behrend集合包含了整个数字的0.001%。

在另一个极端，如果您的集合几乎包括所有整数，它肯定会包含算术级数。但在这两个极端之间是一个巨大的、基本上未知的中间地带。数学家们想知道，你的集合能有多稀疏，还能确定它会有算术级数吗？

ERDős(有人说可能是与匈牙利数学家Pál Turán合作)提供了一个可能的答案。他关于倒数和的条件是一种变相的关于密度的陈述：事实证明，直到任何数字N的列表的密度至少大约比N中的位数大1。换句话说，当你沿着数字行走出去时，列表变得更稀疏是可以的，但前提是这样做非常慢：通过5位数字，你的列表的密度应该至少约为1/5；直到20位的数字，列表的密度应该至少约为1/20；依此类推，直到5位的数字，列表的密度应该至少在1/20左右；依此类推，列表的密度应该至少在1/20左右；如果是5位的数字，那么列表的密度应该至少比N中的位数大1/20；以此类推。Erdő猜想，如果满足这个密度条件，你的列表应该包含无限多个各种长度的算术级数。

1953年，克劳斯·罗斯(Klaus Roth)开始让数学家们走上证明Erdő猜想的道路。在帮助他在五年后获得菲尔兹奖章的工作中，他建立了一个密度函数，保证均匀分布的三倍数-不是像Erdő的密度那么低，但无论如何，当你沿着数字线走出去时，密度会接近于零。罗斯定理意味着，密度最终下降到1%以下，然后下降到0.1%以下，然后下降到0.01%以下，以此类推的一系列数字，只要滑到这些阈值以下的速度足够慢，就必须包含算术级数。

罗斯的方法首先依赖于这样一个事实，即大多数具有他选择的密度的列表“希望”有算术级数-它们有足够多的不同数字对，几乎可以肯定，这些数字对之间的一些中点也将属于该列表，从而创建等间距的三元组。棘手的部分是如何从“大多数”数字列表到“所有”数字列表，甚至是那些结构可能经过特殊设计以避免算术级数的列表。

给出了这些高度结构化的列表之一，罗斯有了一个想法，通过使用所谓的傅立叶变换来映射它的“频谱”来提取它的结构。这可以检测出哪些重复模式显示得特别强烈--这与X射线结晶学和射电光谱学等技术所依据的数学原理是一样的。

一些频率会比其他频率显示得更强烈，而这些变化突出了模式-例如，较强的频率可能表示列表中包含的奇数比偶数多。如果是这样的话，您可以只关注奇数，现在您的集合(相对于所有奇数)比开始时的集合(相对于所有数字)更密集。罗斯能够证明，在有限次这样的提炼之后，你就有了一个稠密的集合，它一定包含算术级数。

斯坦福大学(Stanford University)的雅各布·福克斯(Jacob Fox)表示，罗斯的方法在过去半个世纪激励了解析数论的许多发展。“这些都是非常有影响力的想法。”

罗斯的论点只适用于一开始就相当密集的集合，否则重复的提炼只会使集合蒸发。其他数学家逐渐找到了从罗斯的方法中榨取更多能量的方法，但他们无法完全达到Erdő猜想中的密度。“这似乎真的是一个很难跨越的障碍，”福克斯说。

然后在2011年，卡茨和迈克尔·贝特曼想出了如何在一个更简单的设置中克服这个障碍：纸牌游戏集，在这套游戏中，你可以搜索匹配的三元组图案的纸牌。有一种精确的方式可以将匹配的三元组视为算术级数，就像整数列表一样，您可以询问必须放多少张牌才能确保找到至少一个三元组。