数学家永远不会停止证明素数定理

匈牙利数学家Paul Erdős曾经说过：“你不一定要相信上帝，但你必须相信这本书。”这本书只存在于理论上，它包含了最重要定理的最优雅的证明。Erdő的授权暗示了数学家们的动机，他们继续为已经证明的定理寻找新的证明。最受欢迎的是素数定理--这是一种描述素数分布的语句，素数的唯一因子是1和它们自己。虽然数学家从来不知道一个证明是否值得收录在这本书中，但雅克·哈达玛(Jacques Hadamard)和查尔斯-让·德拉瓦莱·普辛(Charles-Jean de la Vallée Poussin)在1896年提出的素数定理的第一个独立证明是两位强有力的竞争者。

素数定理提供了一种近似小于或等于给定数n的素数的方法，这个值称为π(N)，其中π是“素数计数函数”。例如，因为有四个素数小于或等于10(2，3，5和7)，所以π(10)=4。同样，π(100)=25，因为前100个整数中有25个是质数。在前1,000个整数中，有168个素数，因此π(1,000)=168，依此类推。请注意，当我们考虑前10个、100个和1000个整数时，素数的百分比从40%到25%再到16.8%。这些例子表明，素数定理证实，质数等于或低于给定数的密度随着该数的增大而减小。

但是，即使您有一个排序的正整数列表，比方说，超过1万亿，谁会想要通过手动计数的方式来确定π(1,000,000,000)？素数定理提供了一条捷径。

该定理告诉我们，π(N)n与$LaTeX{\fRAC{n}{\ln(N)}$“渐近相等”，其中1ln是自然对数。(您可以将渐近相等视为近似相等，尽管从技术上讲，它不止如此。)。例如，让我们估计素数的数量高达1万亿。不是计算单个素数来确定π(1,000,000,000,000)，而是可以使用这个定理了解到大约有$LaTeX\FRAC{1,000,000,000}{\ln(1,000,000,000)}$，等于。当四舍五入为整数时，为36,191,206,825。这个数字与实际答案37,607,912,018只相差约4%。

在渐近相等的情况下，在公式中插入较大的数字时，精度会提高。基本上，当你走向无穷大时--它本身不是一个数字，而是比任何数字都大的东西--定理中的近似相等接近于实际的相等。这是尽管素数的实际数目总是等于整数，而在渐近相等的另一边，涉及自然对数函数的分数可以等于实数线上的任何值。整数和实数之间的这种联系充其量是违反直觉的。

这是令人振奋的东西，即使在数学家中也是如此。令人抓狂的是，素数定理的陈述并没有暗示为什么这一切都是真的。

“这个定理从来就不是关于这个定理的。澳大利亚昆士兰理工大学(Queensland University Of Technology)数学教授迈克尔·博德(Michael Bode)说。

尽管阿达马德和德拉瓦莱·普辛的证明很优雅，但他们最初的证明依赖于复数分析--研究具有虚数的函数--一些人认为这并不令人满意，因为这个定理的陈述本身并不涉及复数。然而，1921年，G·H·哈代(G.H.Hardy)称质数定理的非分析性证明--也就是所谓的初等证明--的前景“极不可能”，并声称，如果有人能找到一个，那就需要“重写理论”。

Atle Selberg和Erdő自己接受了挑战，并在1948年各自发表了使用对数性质的素数定理的新的、独立的初等证明。这些证明促使其他数学家考虑用类似的方法来处理数论猜想，此前人们认为这种看似简单的方法过于深奥。许多令人兴奋的结果随之而来，包括赫尔穆特·迈尔(Helmut Maier)1985年的初等证明，证明了素数分布出现了意想不到的不规则现象。

西北大学(Northwest University)数学家弗洛里安·里希特(Florian Richter)最近发布了这一著名命题的新的初等证明，他说：“这么多悬而未决的问题都是建立在素数定理的基础上的。”里希特在试图证明素数定理的一个深远推广时找到了他的证明。

随着时间的推移，数学家帮助建立了一种文化，在这种文化中，数学家致力于证明和重新证明定理，不仅是为了验证陈述，也是为了提高他们证明定理的技能和对所涉及的数学的理解。

这超出了素数定理的范畴。保罗·里本博伊姆编目了至少7个素数无穷大的证明。Steven Kifowit和Terra Stamps确定了20个证明，证明调和系列1+$LATEX\FRAC{1}{2}$+$LATEX\FRAC{1}{3}$+$LATEX\FRAC{1}{4}$+$LATEX\FRAC{1}{5}$+$LATEX\FRAC{1}{6}$+$LATEX\FRAC{1}{7}$+…。，并不等于一个有限的数字，Kifowit后来又增加了28个。布鲁斯·拉特纳(Bruce Ratner)引用了毕达哥拉斯定理的371种不同证明，包括欧几里德、莱昂纳多·达·芬奇(Leonardo Da Vinci)和当时来自俄亥俄州的美国总统詹姆斯·加菲尔德(James Garfield)提供的一些宝石。

重新证明事物的习惯现在是如此根深蒂固，数学家们可以从字面上指望它。Tom Edgar和Yajun An指出，在高斯1796年的最初证明之后，已经有246个被称为二次互易定律的陈述的证明。通过绘制随时间推移的证明数量图，他们推断，这个定理的第300次证明大约在2050年左右。

堪萨斯州立大学(Kansas State University)研究生索菲娅·雷斯塔德(Sophia Restad)说：“我喜欢旧定理的新证明，就像我喜欢通往我已经去过的地方的新道路和捷径一样。”这些新路径为数学家提供了一种智力活动的比喻地域感。

数学家可能永远不会停止寻找素数定理和其他受人喜爱的定理的新的、更有启发性的途径。幸运的是，他们中的一些人甚至值得被收录在这本书中。