陶渊明谈数学记数法的一些可取性质
$\Beginggroup$在许多计算数学、运筹学中，例如优化问题的算法设计等，作者喜欢使用$$\Langle\CDOT，\CDOT\Rangle$$，而不是使用$$(\CDOT)^T(\CDOT)$$。
即使空间显然是欧几里得的，运算显然是点积。这样做有什么好处或好处呢？是不是这样，这些符号就可以很好地推广到其他空间呢？
$\结束组$。
$\Beginggroup$如果空间是明确的欧几里得空间，那么也许是为了强调向量是几何对象而不只是数字数组？否则，通常会给出一个具有标量积的向量空间，但没有基数的自然选择。$\endgroup$-2Erz。
$\BEGINGROUP$括号符号是Cleary对称的，而另一个不是。事实上，应该用其他方式来问这个问题：为什么使用$(\CDOT)^T(\CDOT)$而不是方括号？$\endgroup$-.user1123502。
$\BEGINGROUP$$\LANGE u；v\RANGE$显式为数字，而$u^TV$为1乘1矩阵：)。$\endgroup$-ENDGROUP KESTYA_I。
$\Begingroup$Also，$\Langle\CDOT，\CDOT\Rangle$看起来像一张没有嘴的好奇的脸，而$(\CDOT)^T(\CDOT)$...。呃，不要紧。$\endgroup$-1费德里科·波罗尼。
$\Beginggroup$我已经投票决定重新开张，理由是任何可以吸引像陶渊明这样的答案的问题都肯定值得一问。$\endgroup$-1马克·威尔登
给定数学字段$X$中的$\BEGINGROUP$数学符号基本上是书面页面(或黑板、电子文档等)上的数学表达式(或语句)之间的对应关系$$\mathm{notation}：\{\HBox{格式良好的表达式}\}\到\{\HBox\}X\}$$中的抽象对象。以及我们自己、我们的合作者和我们的观众头脑中的数学对象(或概念和想法)。一个好的符号应该使这个映射$\mathm{notation}$(及其逆)尽可能接近(自然)同构。因此，例如，以下属性是所需的(尽管不是强制的)：
(明确)表示法中的每个格式良好的表达式都应该在$X$中有唯一的数学解释。(与此相关的是，应该尽量减少使用给定符号$\mathm{notation}$解释表达式和使用流行的竞争符号$\widetilde{\mathm{notation}}$解释表达式之间可能存在的混淆。)。
(表现力)相反，$X$中的每个数学概念或对象都应该至少以一种方式使用符号进行描述。
(保持质量，i)$X$中的每个自然概念都应该很容易用符号来表达。
(保持质量，ii)$X$上的每一个不自然的概念都应该很难用符号来表达。[具体地说，记号系统可能表达能力太强而不适合给定的应用程序域。]。相反，符号系统中看起来干净自然的表达式应该与$X$中的自然对象或概念相对应。
(纠错/检测)格式良好的表达式中的打字应创建易于更正(或至少检测到)以恢复原始预期含义(或其微小扰动)的表达式。
(暗示性，i)在$X$中相似的概念应该在符号中有相似的表达，反之亦然。
(提示性，ii)$\mathm{notation}$中的形式操作演算应该类似于数学家在$X$中已经熟悉的其他符号系统中的形式操作演算。(建议，ii)$\mathm{notation}$中的形式操作演算应该类似于数学家在$X$中已经熟悉的其他符号系统中的形式操作演算。
(变换)$X$中数学概念的自然变换(例如，坐标的改变或乘法的结合性)应对应于符号对应符号的自然操作；类似地，应用$X$中的标准结果应对应于记数法系统中干净而强大的演算。[在特别好的符号中，反之亦然：在自然的时尚中，符号的形式操作可以导致发现新的方法，自然地改变数学对象本身。]。
要评估这些性质，必须将整个域$X$作为一个整体来评估；符号的质量不能通过检查$X$中用于单个数学概念$C$的符号$\mathm{notation}^{-1}(C)$来以纯粹的逐点方式进行评估。特别地，对于单个概念$C$，完全可以有许多不同的符号$\mathm{notation}_1^{-1}(C)，\mathm{notation}_2^{-1}(C)，\dots$，每个符号都设计用于不同的数学领域$X_1，X_2，\dots$。(在某些情况下，例如使用Desiderata 1和7中的质量度量，为了评估该符号系统的适用性，查看整个符号系统$\mathm{notation}$以及它与当前数学界普遍使用的其他符号系统$\widetilde{\mathm{notation}}$之间的关系是不够的。)，例如，使用desiderata 1和7中的质量度量标准，查看整个符号系统$\mathm{notation}$是不够的，而且还要查看它与当前数学界流行的其他符号系统的关系，以评估该符号系统的适用性。)。
返回到表示标量$c$等于标准向量空间${\bf R}^n$中两个向量$u，v$的内积的概念$C$的具体示例，不仅有两个通常用于捕获$C$的符号，而且实际上有十几个(包括在其他答案中提到的几个)：
行人符号：$c=\sum_{i=1}^n u_i v_i$(或$c=u_1 v_1+\dots+u_n v_n$)。
欧几里得表示法：$c=u\cot v$(或$c=\vec{u}\cot\vec{v}$或$c=\mathbf{u}\cot\mathbf{v}$)。
黎曼几何符号：$c=\eta(u，v)$，其中$\eta$是欧几里得度量形式(也可以是$c=u\neg(\eta\cdot v)$，或$c=\iota_u(\eta\cdot v)$；也可以用$\eta(-，v)$代替$\eta\cdot v$)。
矩阵表示法：$c=u^T v$(或$c=\mathm{tr}(vu^T)$或$c=u^*v$或$c=u^\dagger v$)。
爱因斯坦记数法，i(没有匹配的上标/下标要求)：$c=u_i v_i$(或$c=u^iv^i$，如果向量分量用上标表示)。
爱因斯坦记数法，III(具有匹配的上标/下标要求和隐式升降算子)：$c=u^i v_i$(或$c=u_i v^i$或$c=\eta_{ij}u^i v^j$)。
Penrose抽象索引表示法：$c=u^\alpha v_\alpha$(或$c=u_\alpha v^\alpha$或$c=\eta_{\alpha\beta}u^\alpha v^\beta$)。[在没有导数的情况下，这几乎与爱因斯坦记数法III相同，但如果存在协变导数(Penrose记法中的$\nabla_\alpha$，或爱因斯坦记法中的$\Partial_I$和Christoffel符号的组合)，这两个记数系统之间的区别就会变得更加明显。]。
Hodge记法：$c=\mathm{det}(u\wedge*v)$(或$u\wedge*v=c\omega$，其中$\omega$为卷形式)。[这里我们隐式地将$u，v$解释为协向量，而不是向量。]。
这些符号中的每一个都是为不同的应用数学领域量身定做的。例如：
矩阵表示法适用于使用许多其他矩阵运算和表达式的情况(例如，秩1运算符$vu^T$)。
黎曼或抽象索引表示法适用于变量经常进行线性或非线性变化的情况。
希尔伯特空间记号将是合适的，如果一个人打算最终将一个人的计算推广到其他希尔伯特空间，包括无限维的希尔伯特空间。
欧几里德记数法适用于其他欧几里德运算(例如，叉积)也经常使用的上下文。
爱因斯坦和彭罗斯抽象索引符号适用于高阶张量大量涉及的上下文。爱因斯坦一号更适合于欧几里得应用或其他不需要大量使用协变运算的情况，否则爱因斯坦三世或彭罗斯更可取(如果涉及协变导数，则后者尤其可取)。爱因斯坦二世适用于希望明确依赖度规的情况。
Clifford代数记法适用于处理任意特征的域，特别是如果希望允许特征2。
以此类推。对于此概念，没有唯一的最佳符号选择；它取决于预期的上下文和应用程序域。例如，如果不希望读者意外地将标量积$u^Tv$与秩1运算符$vu^T$混淆，则矩阵记法将是不合适的，如果经常希望对分析中使用的向量和矩阵/线性变换执行坐标运算(例如，Hadamard积)，则希尔伯特空间记法将是不合适的，等等。
$\结束组$。
$\egingroup$几何代数记号也可以简明地写为$\frac{1}{2}\{u，v\}$，其中$\cdot，\cdot$是反对位子。$\endgroup$-1用户76284。
为了它的价值，我学会了爱因斯坦求和，因为它只对上行和下行指数对求和。$\endgroup$-Aaron Bergman。
$\BEGINGROUP$爱因斯坦求和的两个变体都在使用中，如果想要充分利用协方差，则使用您所说的首选公式，但更宽松的公式适用于欧几里得上下文，在欧几里得上下文中，人们不需要太多地依赖协变变换。参见en.wikipedia.org/wiki/Einstein_notation#Application。(就我个人而言，如果要大量使用协变运算，特别是协变导数，我建议改用Penrose抽象求和符号，除非出于某种原因真的喜欢Christoffel符号。)$\endgroup$-TERRY陶渊明。
$\BEGINGROUP$@AaronBergman和Terry，事实上，在两个都上涨或两个都下跌的重复指数上求和与在一个上涨一个下跌的重复指数上求和是有重要区别的。这就是我对特里对爱因斯坦符号的描述的吹毛求疵。$\endgroup$-1杨院长
$\BEGINGROUP$区分对偶向量和向量的收缩以及两个向量的内积通常很重要。在我的工作中，我是在没有内积的情况下工作的，所以指数是上升还是下降是相当关键的。所以在描述爱因斯坦符号时，我不认为这两种不同的符号是等价的。同时向上或向下的重复指数表示使用内积和正交基。具有一个上行和一个下行的重复指数是对偶向量与向量关于任何基的收缩。$\endgroup$-1杨院长。
$\Begingroup$内积被公理化地定义为从$V\乘V\到k$的函数，其中$k$是域，$V$是$k$-向量空间，满足三个公理。通常的记号是$(x，y)$，所以当你想说任何关于任意内积的事情时，你可以使用这个记号(或一些类似的记号)。$(x，y)=x^*y$只是空间$\mathbb C^n$上内积的一个例子。在同一空间上还有其他的例子，$(x，y)=x^*Ay$，其中$A$是任意厄米特正定矩阵，并且在其他向量空间上有点积。
$\结束组$。
$\Beginggroup$只是一个次要的注解：$A$必须是正定的，而不仅仅是厄米特的，才能成为内积。$\endgroup$--纳撒尼尔·约翰斯顿。
$\BEGINGROUP$任意域上的向量空间$k$肯定太一般了；如何定义正定性？这似乎更像是对称或共轭对称形式的一般性。$\endgroup$-1 LSpice。
$\Begingroup$@LSpice：嗯，将您自己限制在真实且复杂的字段。您仍然有足够的空间，每个空间上都有大量不同的点积。$\endgroup$-亚历山大·埃雷门科(Alexandre Eremenko)。
$\BEGINGROUP$$\LANGE\CDOT，\CDOT\RANGE$的一个优点是，您不必担心基础的变化。
假设我们有一个坐标系$\alpha$，其中我们的(实)内积空间是显式的欧几里得，以及一个可选的坐标系$\beta$。矢量$v$在坐标系中分别表示为列矢量$[v]_\alpha$和$[v]_\beta$。设$P$表示基矩阵的变化
在坐标系$\alpha$中的内积是$\langle v，v\rangle=[v]_{\alpha}^T[v]_{\alpha}$在第二坐标系中肯定不是一般的$[v]_\beta^T[v]_\beta$。(仅当$P$正交时才是如此。)。
也就是说：给定任何Hilbert空间$V$，通过Riesz表示，存在从$V$到其对偶空间$V^*$的(反)同构。您当然可以选择将此映射称为$v\mapstto v^*$(在黎曼几何上下文中，这通常使用音乐同构符号$\Flat$和$\Sharp$表示)，我认为在这种情况下没有理由偏爱其中一个。但是，如果您以这种方式进行操作，则需要注意的是，除非您是在正交基础上工作，否则不能将$v\mapstto v^*$与矩阵上的共轭转置运算相关联。
$\结束组$。
$\Begingroup$@Federico Poloni：如果我理解正确的话，$[v]_\alpha$是抽象向量$v$w.r.t的坐标列向量。基数$\alpha$。因此，$[v]_\beta$也是一个列向量，并且$[v]_\beta=P[v]_\alpha$(即有一个小的打字错误)。$\endgroup$-1 Qfwfq。
$\Begingroup$@FedericoPoloni：感谢您指出拼写错误(并感谢Qfwfq的正确解释。)。打字错误现在已修复。$\endgroup$-Willie Wong。
$\Begingroup$@LSpice：为什么？Riesz表示也适用于复希尔伯特空间，不是吗？或者，您的意思是转置符号只适用于实数符号，而对于复数符号，您需要共轭转置符号？还是我忽略了上面我打错的其他东西？$\endgroup$-@Willie Wong。
$\Begingroup$@LSpice：啊，我忘了加"；(反)"；。现在就把它修好。$\endgroup$-Willie Wong。
$\BEGINGROUP$$\LANGE u，v\RANGE$显式为数字，而$u^TV$为1乘1矩阵：)。
虽然两者之间确实存在典范同构，但如何将$u$的展开式写在标准正交基$v_i\$中呢？像$$u=\sum_i u^tv_i v_i$$这样的东西让人感觉不舒服，就好像你把一切都看成矩阵一样，维度不允许乘法。因此，我至少觉得有必要插入圆括号$$u=\sum_i(u^tv_i)v_i，$$来表示应用了规范同构。但这仍然是含糊其辞的，同时已经取消了$u^tv$的任何排版优势。
(我也有同感，认为依赖于基础的语言是低劣的，应该在可能的情况下避免使用。)。
$\结束组$。
$\BEGINGROUP$您可以将其写为$\sum_j v_j v_j^Tu$。在这种形式下，一切都是完全关联的，您甚至可以很好地分解出投影矩阵$(\sum_j v_j v_j^T)u$。我也学过把标量放在列向量的左边，但现在我认为把它们放在右边要好得多，在这种情况下保持结合性要好得多。事实上，我认为正交投影为转置记法提供了一个令人信服的理由，我已经写了一个答案来讨论它。$\endgroup$-1费德里科·波罗尼。
$\Begingroup$还可以使用$\mathm{tr}()$(或更多乘法上下文，$\mathm{det}()$)显式地编写从$1\x 1$矩阵到标量的转换，如果您希望明确且具有学究般的精确度的话，请使用$\mathm{tr}()$(或更多上下文，$\mathm{det}()$)显式编写从$1\x 1$矩阵到标量的转换。$\endgroup$-1陶渊明。
$\egingroup$@FedericoPoloni，除了形式上正确之外，符号还应该反映我们的思考方式。如果将向量视为来自一维线性空间的线性映射，将标量视为该空间上的线性映射，并将标量乘以标量作为预合成，则您的符号很好。另一方面，我习惯于将向量视为线性空间的元素，并将标量乘法视为应用于这些元素的运算，如果有什么不同的话，那就是使用标量矩阵进行后期合成，而不是预先合成。$\endgroup$-ENDGROUP KESTYA_I。
我能理解，不同的领域需要不同的思维方式。但对我来说，在克服了最初的笨拙之后，标量-Right是最舒服的线性代数版本。例如，当写成$Av=v\lambda$时，特征值/特征向量关系完美地推广到不变子空间关系$AV=Vb$和完全特征分解$AV=Vd$，或者矩阵-向量乘法$Ax$完美地对应于具有系数项$x_j$的列$A^j$的线性组合$\sum_j A^j x_j$。任何人都不需要以这种方式移动标量。$\endgroup$-1费德里科·波罗尼。
$\BEGINGROUP$在某种意义上，在此设置中，真正的异常值是标量矩阵乘积$\alpha A$，它与产品中兼容维度的通常规则不匹配(而$v\alpha$按此顺序编写时会匹配)。也许形式上正确的出路是将其视为张量(Kronecker)乘积$\alpha\ox A$，具有$1\x 1$矩阵$\alpha$...$\endgroup$--Federico Poloni
在我看来，括号记法的一个巨大优点是它允许空白。因此，可以将内积的符号指定为$\langle\，\\rangle$，并且给定$\langle\，\rangle：v\乘V\right tarrow K$，可以通过$\langle u，-\rangle$和$\langle-，v\rangle$定义对偶空间$V^\star$的元素。(在复杂情况下，其中之一仅为共轭线性。)。
我知道更主观一些，但出于符号的原因，我更喜欢用$\langau，v\rangle=\langu，A^\dagger v\rangle$来表示伴随映射，而不是$(Au)^tv=u^t(A^tv)$。前者还强调建设是基础独立的。它更好地推广到希尔伯特空间和其他具有非退化双线性形式(不一定是内积)的空间。
我还会注意到，物理学家，以及最近从事量子计算工作的任何人，都把这个公式发挥到了极致，并用它以一种简洁的方式展示了相当复杂的本征矢量计算。例如，下面是用胸罩表示法的Hadamard变换：
$$\frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt{2}}\langle 0|+\frac{|0\rangle-|1\rangle}{\sqrt{2}}\langle 1|。$$。
要得到$n$量子位上的一般Hadamard变换，只需取$n$次张量次方：这与对偶空间的向量和元素的各种隐式标识是兼容的。
最后，我恳请大家使用$\langle u，v\rangle$，与\langle和\rangle一起使用，而不是使用野蛮的$<；u，v>；$\lt；u，v>；$，\lt；u，v>；$，\lt；u，v>；$。
$\结束组$。
物理学家的胸罩符号非常令人迷惑。它不仅仅是使用标量积的合理符号$\langle\；.\；|\；。\；\RANGE$表示向量$v$的"；度量"；DUAL$\LANGE V|\；.\；\RANGE$，或将形式为$v\ox u^{\vee}$的运算符表示为$v\langu|$，这对数学家来说是完全标准的。否，他们使用$|\quad\rangle$作为空格，在其中插入某些符号：在$v_{\square}$，(...)$\endgroup$-*Qfwfq中，用任何符号代替$|\square\rangle$中的方框
$\BegingGroup$(...)。不管这样的符号(插入到ket中)是否表示向量本身(如$|v\rangle$)、特征值(如$|\lambda_i\rangle$)或索引(如$|\spadesuit\rangle$或$|0\rangle$或$|uparrow\rangle$)。$\endgroup$-1 Qfwfq。
$\BEGINGROUP$我不认为这特别奇怪。这个KET就是矢量，里面的东西就是矢量的标签。如果您有一个向量$|v\rangle$，则。
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