数学问题中的奇特常数

2020-07-07 16:39:37

迈克尔·卢戈(Michael Lugo)最近考虑了一个涉及随机分配泳道的问题,结果是:

如果我们计算的是大的!!n!!我们得到!!F(N)\sim 0.4323n!!,这与蒙特卡罗模拟…一致。常量!0.4323!!是$$\fras1{2(1-e^{-2})}。$$。

我喜欢这样的事情发生。电脑很擅长快速随机模拟,给你一些奇怪的数字,你根本不知道它的真正含义。但是数学技术可以揭开这个奇怪的数字的面纱,并知道它的真实身份。(“自始至终都是老曼哈斯金斯!”)。

几年前,数学堆栈交换(Math Stack Exchange)曾预计连续填满的箱子的数量和大小,虽然这并不完全是要求的,但我最终考虑到了这个问题:我们接受!!n!!然后把球随意扔进排成一排的!!n!!垃圾桶里。全空或全非空箱的最大连续序列称为“簇”。例如,这里有13个球,我将它们随机放入13个垃圾箱中:

在此示例中,有8个群集,大小为1、1、1、1、4、1、3、1。这是典型的吗?预期的群集大小是多少?

使用蒙特卡罗方法并找出时间是很容易的!!n!!较大时,平均群集大小约为!2.15013!!。你认识这个号码吗?我没有。

但是,分析计算并不难,并且会发现这大约是2.15013!实际答案是$$\fr1{2(e^{-1}-e^{-2})}$$,大约是!2.15013!!

(顺便说一句,我刚才试了一下逆符号计算器,但没有用。它也不在普劳夫的“杂项数学常量”中)。

(M·卢戈的问题和这个问题的答案中的表达式非常相似,这两个问题似乎确实相关,但从他的分析和我的分析来看,我看不出为什么答案应该有相似的形式。我需要更多地考虑这一点。)