为什么矩阵必须是正方形，这一点很重要？

$\Beginggroup$我目前正在努力自学线性代数。我注意到很多术语(如特征向量、特征多项式、行列式等等)的定义都需要一个方阵，而不是任何实数矩阵。例如，Wolfram在其特征多项式的定义中具有以下内容：

特征多项式是特征方程$\det(A-i\lambda)=0$的左侧多项式，其中$A$是方阵。

为什么矩阵必须是正方形的？如果矩阵不是正方形，会发生什么？为什么方阵在这些定义中经常出现呢？如果这是一个非常简单的问题，我很抱歉，但我觉得我遗漏了一些基本的东西。

$\结束组$。

$\Begingroup$请注意，您不能计算非方阵的行列式。$\endgroup$-Arnaud Mortier。

$\Begingroup$@ArnaudMortier公平地说，我认为这将构成OP问题的另一个实例：为什么行列式只对方阵有意义？"；$\endgroup$-n诺亚·施韦伯(Noah Schweber)。

奇异值定理是将方阵的大部分机器推广到$m\x n$矩阵的一个相当成功的尝试。这是通过对$A^Ta$进行谱分解来实现的，$A^Ta$也是对称的$\endgroup$-N8tron。

$\BEGINGROUP$注意，您提到的特征向量的定义等并不依赖于具有实值的矩阵。具有复数值的矩阵也同样有用(当然，实数矩阵可以视为复数矩阵的特例)。此外(正如N8tron所说)有一个非常强大的概念适用于非方阵，即奇异值分解(SVD)-尽管要了解它是什么以及它有什么好处，您需要先了解您提到的方阵概念，而SVD可能根本不会在第一堂线性分析课程中涉及。$\endgroup$-字母零

$\Begingroup$记住，具有实数条目的$n$x$m$矩阵表示从$\mathbb{R}^m$到$\mathbb{R}^n$的线性映射(或者更一般地，具有来自某些字段$k$的条目的$n$x$m$矩阵表示从$k^m$到$k^n$的线性映射)。当$m=n$时，也就是当矩阵为正方形时，我们讨论的是从空间到自身的映射。

为什么从空间到自身的地图-而不是从空间到其他东西的地图-特别有趣呢？

问题是，当我看一张从一个空间到它本身的地图时，地图的输入和输出都是相同的东西类型，所以我可以有意义地比较它们。因此，例如，如果$f：\mathbb{R}^4\right tarrow\mathbb{R}^4$询问$f(V)$何时与$v$平行是有意义的，因为$f(V)$和$v$位于同一空间中；但是询问$g(V)$何时与$v$对于$g：\mathbb{R}^4\right tarrow\mathbb{R}^3$平行'；(顺便说一句，这个例子只是说当矩阵是正方形时，特征向量/值是有意义的，但当矩阵不是正方形时就没有意义了。)。

作为另一个例子，让我们考虑行列式。行列式的几何意义是，它度量线性地图(有符号)体积的单位有多大-例如，地图$(x，y，z)\mapsto(-2x，2y，2z)$将一个体积单位变为$-8$体积单位，行列式$-8$也是如此。有趣的是，这适用于每一个体积斑点：不管我们看的是贴图如何扭曲通常的1-1-1立方体，还是其他一些随机立方体。

但是，如果我们尝试从$3$D到$2$D(所以我们正在考虑一个$2$x$3$矩阵)，或者反之亦然呢？嗯，我们可以试着用同样的想法：(按比例)一个给定的产量最终会产生多少面积？然而，我们现在遇到了问题：

如果我们从$3$涨到$2$，伸缩因子不再是不变的。考虑投影图$(x，y，z)\mapstto(x，y)$，并考虑当我垂直拉伸一点体积时会发生什么…。

如果我们从$2$涨到$3$，我们将永远得不到任何数量--起始量太小了！因此，不管我们看的是什么地图，我们的延伸系数似乎都是0美元。

问题是，在非正方形的情况下，被天真地解释为行列式的行列式要么定义不清，要么因为愚蠢的原因是$0。

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我建议(正如甘道夫61的答案中顺带提供的那样)这个难题的另一个部分是，一旦你有了$n\x n$矩阵的集合，这个集合上还有一个自然的合成运算符，它可以接受任何两个成员并产生第三个成员；这不是任意维数的矩阵的情况，这个额外的结构带来了当你有一个矩阵时，你可以问的所有自然的问题。如果你有一个任意维数的矩阵，那么这个额外的结构就会带来你可以问的所有自然的问题，当你有一个矩阵时，这个额外的结构会带来你可以问的所有自然的问题，这是一个可以接受任何两个成员并产生第三个成员的集合；这不是任意维数的矩阵的情况，而且这个额外的结构带来了当你有一个。$\endgroup$-*Steven Stadicki。

$\BEGINGROUP$令人着迷！如果有这样的解释，我可能会更喜欢线性代数。$\endgroup$-1接近DarkessFish。

关于方阵为什么如此重要，已经有很多很好的答案了。但是，就像你不认为其他矩阵不有趣一样，它们有类似的逆(例如，摩尔-彭罗斯逆)，非方矩阵有奇异值分解，其中奇异值起着松散类似于方阵的特征值的作用。这些主题通常在线性代数课程中被忽略，但它们在统计和机器学习的数值方法中可能很重要。但是在花哨的非方阵结果之前学习方阵结果，因为前者为后者提供了上下文。

$\结束组$。

线性代数矩阵中的$\BegingGroup$通常表示向量空间之间的线性变换。$m\x n$矩阵$M$表示从$\mathbb{R}^n$到$\mathbb{R}^m$的线性变换。

当矩阵为方阵($m=n$)时，可以认为它表示从$\mathbb{R}^n$到自身的变换。这就是特征值和特征多项式的概念有意义的时候。

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要添加到@Ethan的答案中的$\egingroup$线性映射从向量空间到自身的基本原理是，您可以将向量与其图像进行比较：

只有当结构域和共域重合时，所有这些问题才有意义(并且在线性映射上携带大量信息)。行列式、特征多项式等就是用来回答这些问题的。

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$\Beginggroup$到目前为止，答案中没有明确说明的一点是，矩阵的幂只有在矩阵是平方的情况下才有意义。

方阵$\Mathcal{M}(A)$表示一个线性映射$A：V\right tarrow W$，它的整环$V$和其上整环$W$的维数相同，所以它的整环和上整环与向量空间同构(通常我们认为整环和上整环是相同的向量空间，但严格地说这不是必须的)。

如果$A$的区域和余域是同一向量空间，则我们可以将$A$与其自身合成，从而创建线性映射$A\CIRRC A$、$A\CIRRC A\CIRRC A$等。这些映射依次由方阵$\mathcal{M}^2$、$\mathcal{M}^3$等表示。这允许我们定义方阵的多项式函数，从而理解诸如Cayley-Hamilton定理之类的语句。

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如果$A$的定义域和上定义域与向量空间同构，则我们可以将A与其自身合成-事实并非如此。域和共域必须相等，您才能将转换与其自身组合在一起。虽然方阵有时可能表示相同维度的不同空间之间的映射，但问题所询问的一切都是从空间到其自身的映射的内在属性，因此，我觉得提出行列式、特征多项式和特征向量不自然适用的不同语义情况并不是特别相关。$\endgroup$-1米洛·勃兰特

嗯，我不确定是否有人给出了一个简单的答案，那就是把矩阵的每一行看作是一组联立方程中未知数的系数。

方阵具有与未知数相同数量的方程式(假设所有行或列都不是彼此的倍数)，因此表示一组方程式的左侧，该方程式很有可能有唯一解。

对于矩阵，从几何上考虑它们通常是有帮助的，但也经常将它们视为方程系数。

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$\Beginggroup$对于矩阵$\mathbf{A}$要可逆，它必须是$n\x n$方阵，并且存在$n\x n$方阵$\mathbf{B}$，通过矩阵乘法运算，我们有。

$$\mathbf{AB}=\mathbf{BA}=\mathbf{i}_{n}\tag{1}$$其中$\mathbf{i}_{n}$表示$n\x n$单位矩阵。因此，此矩阵$\mathbf{B}$是唯一的，并称为$\mathbf{A}$的逆，表示为$\mathbf{A}^{-1}$。我们从(1)可以看出，矩阵必须是平方的，否则它们不会交换。方阵没有逆当且仅当其行列式为$0$，则称其为奇异矩阵。

具有可逆方阵的一个重要结果是可以对它们施加群结构。域$F$上所有$n\x n$可逆矩阵的集合在矩阵乘法下形成一个群，称为$n$次的一般线性群，或$\text{GL}(n，F)$，它们是非奇异的$n\x n$矩阵的集合。可以看出，两个可逆矩阵的乘积是可逆的，可逆矩阵$(\mathbf{A}^{-1})^{-1}=\mathbf{A}$的乘积是可逆的。

特殊线性群$\text{SL}(n，F)$是矩阵具有行列式$1$的$\text{GL}(n，F)$的子集，是它的正规子群。

考虑$\text{SL}(n，\mathbb{R})$：由于它的矩阵具有行列式$1$，因此从它下面的$\mathbb{R}^n\right tarrow\mathbb{R}^n$开始的线性映射在保持体积和方向的情况下被变换。

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